Matemática Básica (Ing.) 1 Sesión 11.3 Álgebra de matrices.

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1 Matemática Básica (Ing.) 1 Sesión 11.3 Álgebra de matrices

2 Matemática Básica (Ing.) Algebra de matrices Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta. Necesidad de la modelación usando SEL. Matrices. Suma y resta de matrices. Multiplicación de una matriz por un escalar y matriz cero. Multiplicación de matrices. Matriz identidad. Inversa de una matriz cuadrada. Verificación de una matriz inversa. Inversa de una matriz 2x2. Determinante de una matriz. Menores y cofactores. Existencia de la inversa de una matriz. Propiedades de matrices.

3 Matemática Básica (Ing.) 3 Consideraciones previas 2. Determine las dimensiones de un jardín rectangular que tiene perímetro de 100 pies y área de 300 pies 2. x y 1. La compañía Ruiz invierte un total de $30 000. Una parte al 6% y el resto al 9 %. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa.

4 Matemática Básica (Ing.) 4 Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta 3. Resuelva los siguientes sistemas Sistema compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado x y x y x y 3 -2

5 Matemática Básica (Ing.) 5 Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio. Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio. Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio. Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre. Plantee un modelo matemático que permita determinar cuántas bolsas de cada marca de fertilizante deben usarse por acre para lograr un crecimiento ideal. Necesidad de la modelación usando SEL

6 Matemática Básica (Ing.) 6 Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de números de m filas y n columnas de números reales y se lee matriz de m  n. El orden de la matriz es m  n. Si m = n, la matriz es cuadrada. m filas n columnas

7 Matemática Básica (Ing.) 7 Ejemplos a) La matriz tiene orden 2 x 3. tiene orden 4 x 2. tiene orden 3 x 3. b) La matriz c) La matriz

8 Matemática Básica (Ing.) 8 Notación abreviada para la matriz También se usa la notación abreviada A = [a ij ] para esta matriz. El elemento a ij está en la fila i y la columna j.

9 Matemática Básica (Ing.) 9 Ejemplo Determine la matriz A, si:

10 Matemática Básica (Ing.) 10 Suma y resta de matrices Sean A = [a ij ] y B = [b ij ], matrices de orden m  n 1.La suma A + B es la matriz de m  n. A + B = [a ij + b ij ] 2. La resta A - B es la matriz de m  n. A - B = [a ij - b ij ]

11 Matemática Básica (Ing.) 11 Multiplicación de una matriz por un escalar y la matriz 0. El producto de un número real k y la matriz A = [a ij ] de orden m  n, es la matriz de orden m  n kA = [ka ij ] La matriz kA = [ka ij ] es un múltiplo escalar de A. La matriz 0 = [0] de orden m  n, contiene únicamente ceros, es la matriz cero. Si A = [a ij ], entonces: A + 0 = A

12 Matemática Básica (Ing.) 12 Ejemplo Sean A = [a ij ] y B = [b ij ], matrices de 2  2, con a ij = 3i – j y b ij = i 2 + j 2 – 3, para i = 1, 2 y j = 1, 2 1.Determine A y B. 2.Determine el inverso aditivo, -A de A y verifique que A + (-A) = [0]. ¿Cuál es el orden de [0]? 3.Determine 3A - 2B.

13 Matemática Básica (Ing.) 13 Sea A = [a ij ] una matriz de m  r y B = [b ij ] una matriz de r  n El producto AB = [c ij ] es la matriz m  n, donde Multiplicación de matrices i j

14 Matemática Básica (Ing.) 14 La manera de hallar el producto AB con A y B es: Multiplicación de matrices ¿Existe el producto BA?

15 Matemática Básica (Ing.) 15 Matriz identidad La matriz I n de n  n, con unos en la diagonal principal y 0 en el resto de las entradas, es la matriz identidad de orden n  n. Diagonal principal Ejemplos,

16 Matemática Básica (Ing.) 16 Inversa de una matriz cuadrada Sea A = [a ij ] una matriz de orden n  n. Si existe una y matriz B tal que entonces B es la inversa de A. Escribimos B = A -1 (se lee “A inversa”)

17 Matemática Básica (Ing.) 17 Verificación de una matriz inversa 1. Pruebe que las matrices A y B son inversa, una de la otra 2. Pruebe que la matriz A es singular, es decir A no tiene inversa.

18 Matemática Básica (Ing.) 18 Inversa de una matriz 2  2 Si ad – bc ≠ 0, entonces El número ad – bc es el determinante de la matriz 2 x 2 se expresa Si entonces

19 Matemática Básica (Ing.) Sea A = [a ij ] una matriz de orden n  n (n > 2) El determinante de A, expresado como det A o |A| es la suma de las entradas de cualquier fila o cualquier columna multiplicada por sus respectivos cofactores A ij. 19 Determinante de una matriz

20 Matemática Básica (Ing.) 20 Determinante de una matriz Presentemos una matriz A =[a ij ] de 3  3. Se llama cofactor de a ij, en este caso de a 21 M 21 Se llama menor o determinante menor de a ij, en este caso de a 21

21 Matemática Básica (Ing.) 21 Menores y cofactores La manera de hallar los menores M ij es la siguiente: i j i j i j En general, los cofactores A ij se determinan así: A ij =(- 1) i+j M ij

22 Matemática Básica (Ing.) 22 Existencia de la inversa de una matriz Una matriz A de n  n, tiene una inversa sí y sólo sí det A ≠ 0. Ejemplo Determine si la matriz tiene una inversa. Si es Así, encuentre su matriz inversa. a) b)

23 Matemática Básica (Ing.) 23 Propiedades de matrices Sean I una matriz identidad; A, B y C matrices cuyos órdenes son tales que las sumas, diferencias y productos siguientes están definidos: 1.Propiedad conmutativa Suma: A + B = B + A Mult.: en general no se cumple 2.Propiedad de la identidad Suma: A + 0 = A Mult.: AI = I  A = A 3.Propiedad distributiva A(B ± C) = AB ± AC (A ± B)C = AC ± BC 4.Propiedad asociativa Suma: (A + B) + C = A + (B + C) Mult.: (AB)C = A(BC) 5.Propiedad del inverso Suma: A + (-A) = 0 Mult.: A  A -1 = A -1  A = I

24 Matemática Básica (Ing.) 24 Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 16, 22, 26, 36, 38, 40, 64 y 66 de las páginas 590 al 593. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle. Importante