PLANO AFÍN PLANO EUCLÍDEO

Presentación del tema: "PLANO AFÍN PLANO EUCLÍDEO"— Transcripción de la presentación:

1 PLANO AFÍN PLANO EUCLÍDEO
María Jesús Arruego Bagüés

2 Un agradecimiento especial para
Esta presentación está con el ánimo de que te ayude a estudiar y a manejarte en el Plano. Espero que así sea. María Jesús Un agradecimiento especial para Manuel Alejandre, que lo pone en la red.

3 Magnitudes escalares y vectoriales
¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra? Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad de medida. Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su intensidad, necesitamos su dirección y su sentido. Estamos ante dos tipos de magnitudes: Las magnitudes escalares, para cuya determinación se necesita un número que exprese su medida. Las magnitudes vectoriales, como la velocidad de un móvil, el viento, la fuerza, la gravedad,…, que necesitan determinar su intensidad, dirección y sentido.

4 VECTORES EN EL PLANO VECTOR FIJO VECTORES EQUIPOLENTES VECTOR LIBRE
SUMA DE VECTORES LIBRES PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES COMPONENTES DE UN VECTOR

5 Vectores en el plano Llamaremos vector fijo de origen A y extremo B, al segmento orientado que va de A a B. Lo indicaremos con A π B Llamaremos módulo del vector a la longitud del segmento AB. Su dirección será la de la recta determinada por los puntos A y B. Su sentido es el que va de A a B. Diremos que dos vectores son equipolentes (equivalentes) si tienen el mismo módulo dirección y sentido

6 Vectores libres Si dos vectores fijos son equipolentes, al unir sus orígenes y sus extremos se forma un paralelogramo Fijado un vector AB y un punto C, existe un vector equipolente a AB con origen en C B A B A C C D Se lee: “El vector AB es equipolente al CD D Llamaremos vector libre al conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado Se lee: “ el vector libre u está formado por todos los vectores equipolentes a AB

7 Vectores libres del plano
El vector libre u es el conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado. Análogamente v, w,… Llamaremos V2 al conjunto de vectores libres del plano NOTA: Indicaremos los vectores en negrita o con una flecha sobre la letra(s) correspondientes

8 Suma de vectores libres
GEOGEBRA La suma de dos vectores libres es otro vector. Decimos que la suma de vectores libres es una operación interna: Para sumar dos vectores: - Fijado un punto O del plano, construimos un vector OA que sea representante de u ; después AB equivalente al vector v . El vector OB se llama vector suma Podemos emplear también la ley del paralelogramo: - Fijado O, construimos un vector OA representante de u y OC de v. Siendo éstos dos lados consecutivos de un paralelogramo, lo completamos y el vector OB será el vector suma A O A O B C B

9 Propiedades de la suma de vectores
GEOGEBRA La suma de vectores tiene las siguientes propiedades La suma de dos vectores libres es operación interna: Es asociativa: Existe elemento neutro: Existe elemento opuesto: El conjunto V2 con la operación interna “suma” diremos que tiene estructura de GRUPO Además: Es conmutativa: Diremos que tiene estructura de GRUPO CONMUTATIVO o ABELIANO

10 Propiedades conmutativa y asociativa de la suma
GEOGEBRA Propiedad asociativa: Propiedad conmutativa:

11 Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar es otro vector. Decimos que este producto es una operación externa: El producto de un vector u por un escalar λ es otro vector que tiene la misma dirección que u, igual sentido u opuesto según sea λ positivo o negativo, y cuyo módulo es el producto del módulo de u por el valor absoluto de λ Opuesto de u

12 Propiedades del producto de un vector por un escalar
CABRI Tiene las siguientes propiedades El producto de un vector por un escalar es operación externa: Es “distributiva”: Es “distributiva”: Es “asociativa”: Existe “elemento unidad”: Diremos que V2 con la suma (op.interna) y el producto por un escalar (op. externa) tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL sobre R (los escalares que usaremos son números reales)

13 Propiedades del producto de un vector por un escalar
CABRI

14 Suma y resta de vectores
GEOGEBRA Podemos emplear también la ley del paralelogramo: El vector OB (diagonal del paralelogramo) es el vector suma u+v, y El vector CA (la otra diagonal) es el vector resta u – v (vector que va del extremo de v al extremo de u, en este orden) NOTA: El vector v-u es el opuesto u-v (vector que va del extremo de u al extremo de v, en este orden) La diferencia entre los vectores u y v es igual a la suma de u con el opuesto de v O A B C B O A u

15 Combinación lineal de vectores
GEOGEBRA Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos. Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

16 Combinación lineal de vectores
GEOGEBRA Sistema o familia de vectores es un conjunto finito S de n vectores: Dado sistema S de vectores, se llama combinación lineal de S a cualquier vector que se obtiene sumando los vectores del sistema multiplicados previamente por unos escalares: Los escalares λ i se llaman componentes de v respecto del sistema S El vector v es una combinación lineal de v1, v2, v3. Sus componentes son (2,3,3)

17 Dependencia e independencia lineal de vectores
Sistema o familia de vectores es un conjunto finito S de n vectores: Cuando en un sistema S, algún vector es combinación lineal de los demás vectores, se dice que el sistema es ligado y que los vectores son linealmente dependientes. Si ningún vector del sistema S es combinación lineal de los demás, se dice que S es libre y que los vectores son linealmente independientes. Los vectores {v, v1, v2, v3}, son linealmente dependientes (v es combinación lineal de v1, v2, v3) El sistema {v1, v2} es libre. Los vectores son linealmente independientes.

18 Propiedades de la dependencia lineal. Base del plano
- Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección. - Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre. - En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S Este sistema S libre se llama BASE del plano y los escalares que sirven para formar las combinaciones lineales son las componentes de los vectores: w = ( λ, μ )

19 Vectores linealmente independientes
Dados dos vectores linealmente independientes, y una combinación lineal suya igualada al vector nulo, los dos escalares únicamente pueden ser cero. Cuando dos vectores v y w son linealmente independientes: Si dos vectores v y w son linealmente dependientes: GEOGEBRA

20 Bases del plano Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano. Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base. BASE BASE ORTOGONAL: Los vectores de la base son perpendiculares BASE ORTONORMAL: Los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1

21 Bases del plano Un vector tiene distintas componentes si cambiamos la base BASE ORTOGONAL: BASE BASE ORTONORMAL: Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base

22 Componentes de un vector respecto a una base
Las componentes de un vector w, en una determinada base B, son únicas. Si hubiese dos combinaciones lineales: Restando ambas expresiones: Los vectores u1 y u2 son l.i. Las componentes del vector nulo son (0,0) Luego las componentes del vector w son únicas Fijada una base del plano, todo vector w define un par ordenado de números reales (λ,μ) y, recíprocamente, todo par ordenado de números reales determina un vector de V2. En el plano, tres o más vectores son siempre linealmente dependientes. Cualquier base del plano tiene dos vectores: El plano vectorial tiene dimensión 2

23 Operaciones con componentes.
SUMA DE VECTORES Sea B= { u1,u2} una base del plano vectorial V2, y sean v=(λ,μ) y w=(λ’,μ’) dos vectores dados por sus componentes en B. La suma de ambos será: Para sumar dos vectores, expresados por sus componentes, se suman las primeras componentes entre sí y las segundas entre sí. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Para multiplicar un vector por un número real, se multiplica el número real por cada componente del vector

24 Operaciones con componentes.

25 Vectores linealmente dependientes
Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales. Sea B= { u1,u2} una base del plano vectorial V2, y sean v=(λ,μ) y w=(λ’,μ’) dados por sus componentes en B. Si son linealmente dependientes: son linealmente independientes

26 EL PLANO AFÍN REFERENCIA AFIN COMPONENTES DE UN VECTOR
COORDENADAS DE UN PUNTO ECUACIONES DE LA RECTA PARALELISMO ENTRE RECTAS INCIDENCIA ENTRE RECTAS HAZ DE RECTAS

27 Sistemas de referencia del plano
Fijado un punto O del plano, cualquier vector tiene un representante suyo con origen en O P Llamaremos sistema de referencia del plano a la terna formada por un punto O, y por los vectores de una base del plano. u1 w R = { O; u1,u2} donde B = { u1,u2} es base O u2 El vector OP se llama vector de posición del punto P. P Q O En particular: Un vector cuyo origen y extremo coínciden, es el vector nulo

28 Sistemas de referencia del plano
Sea R = { O; u1,u2} donde B = { u1,u2} es base P u1 w Al punto P le corresponde el par ordenado (x,y) que llamaremos coordenadas del punto P. Coínciden con las componentes del vector de posición OP. O u2 Q(-2,1) P(1,2) u2 P(2,1) u2 O R(-3,-1) u1 O u1 S(3,0)

29 Componentes de un vector PQ
Sea R = { O; u1,u2} donde B = { u1,u2} es base P(x,y) u1 O u2 Q(x’,y’) Las componentes de un vector PQ se obtienen restando las coordenadas del extremo (Q) menos las del origen (P) EJEMPLO: P(1,2) u u2 Q(2,1) O u1 u R(1,-1)

30 Condición para que tres puntos estén alineados
Tres puntos P(p1,p2), Q(q1,q2) y R(r1,r2) están alineados si: P R P P Q

31 Punto medio de un segmento
Q M Si M(x,y) es el punto medio de dos P(p1,p2) y Q(q1,q2): Por análogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales M(x,y) es el punto medio de P(p1,p2) y Q(q1,q2):

32 Simétrico de un punto respecto a otro
Q Para hallar el simétrico P’(x,y) de un punto P(p1,p2) respecto a Q(q1,q2): O bien: Q es el punto medio de PP’:

33 Ecuaciones de la recta ECUACIÓN VECTORIAL ECUACIONES PARAMÉTRICAS
ECUACIÓN CONTÍNUA ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O CARTESIANA ECUACIÓN EXPLÍCITA CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS

34 Ecuaciones de la recta(1)
Para determinar una recta r necesitamos: r A v Un punto de la recta y una dirección r A B Dos puntos de la recta

35 Ecuación vectorial de la recta
A(a1,a2) Sea A el punto de coordenadas A(a1,a2) y v un vector de componentes (v1,v2) X(x,y) Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector direccional de la recta) u1 O u2 Sea X(x,y) un punto genérico de la recta ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta

36 Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es v=(v1,v2)
Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: Despejando el parámetro e igualando: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Si llamamos: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

37 Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2,-3) y cuyo vector direccional es v=(5,-1)
Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: Despejando el parámetro e igualando: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

38 Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es v=(v1,v2)
Ecuación vectorial : Ecuaciones paramétricas : Ecuación contínua : Ecuación general, cartesiana o implícita : Como

39 Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos
Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Ecuación de r que pasa por los puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) Su vector direccional puede ser r P(x,y) B(b1,b2) Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r: A(a1,a2) P(x,y) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS B(b1,b2) A(a1,a2)

40 CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
Sean vr y vs los vectores direccionales de dos rectas r y s paralelas. r Si dos rectas r y s son paralelas, también lo son sus vectores direccionales: vr s vs (Sus componentes serán proporcionales)

41 CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
vr vs Sean dos rectas r y s dadas de diferentes formas: Serán paralelas si: ECUACIÓN vectorial paramé- tricas contínua general Coincidirán si se cumple:

42 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
DEFINICIÓN PROPIEDADES MÓDULO DE UN VECTOR ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS PENDIENTE DE UNA RECTA ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. HAZ DE RECTAS

43 Producto escalar de dos vectores(1)
Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número real que resulta: Producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR (El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0 1. 2. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0) Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares 3. 4. Propiedad conmutativa 5. Propiedad “asociativa” 6. Propiedad distributiva

44 Propiedades del producto escalar (2)
El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar de dicho vector consigo mismo. 7. (Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios) 8. Si una base es ortonormal B = { u1,u2} 9. El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por vector proyección del otro sobre él

45 Expresión analítica del producto escalar
(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios) B = { u1,u2} Sea una base ortonormal y sean dos vectores Como la base es ortonormal Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

46 Expresión analítica del producto escalar
(Los vectores de la base son perpendiculares) B = { u1,u2} Sea una base ortogonal y sean dos vectores Como la base es ortonormal Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortogonal

47 Expresión analítica del producto escalar
Sea una base cualquiera y sean dos vectores B = { u1,u2} Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector en una base cualquiera

48 Coseno del ángulo de dos vectores
Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal. En una base ortonormal o canónica : Si dos vectores son perpendiculares : Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0 A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales

49 Ángulo que forman dos rectas.
vr vs Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del ángulo que forman sus vectores direccionales Valor absoluto de un número real Módulo de un vector Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman) Posición relativa de dos rectas. Secantes Paralelas no coincidentes Coincidentes Dos rectas en el plano pueden ser:

50 Ecuación explícita de una recta. Pendiente de una recta
Si en la ecuación general de la recta r, despejamos y: Si llamamos: r La ecuación explícita de la recta será: m 1 n m nos indica la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen (Para x=0, y=n) A -B α

51 Ecuación punto-pendiente
Ecuación punto-pendiente. Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares. Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x0,y0) perteneciente a ella: Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente: y = m x + n Falta determinar n ( m ya lo conocemos) y0 = m x0 + n La recta debe pasar por P(x0,y0) y - y0 = m (x - x0 ) Restando ambas expresiones: P1(x1,y1) P2(x2,y2) x2-x1 y2-y1 Para hallar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:

52 Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas
Dada la ecuación de una recta r: y=mx+n mx-y+n=0 Vector direccional Serán paralelas si: Serán perpendiculares si: ECUACIÓN r y=mx+n s y=m’x+n’ Ax+By+C=0 A’x+B’y+C’=0 Relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares

53 DISTANCIAS EN EL PLANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS HAZ DE RECTAS

54 Distancia entre dos puntos
GEOGEBRA B b2 b1 b1- a1 b2- a2 La distancia entre dos puntos A(a1,a2) y B (b1,b2) es el módulo del vector AB (o del BA): Basta aplicar el Teorema de Pitágoras: A a1 a2 Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3,8) y el B(3,5):

55 Distancia de un punto a una recta (1)
Recordemos que: El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero Un vector perpendicular al vector (Su producto escalar es cero) puede ser el vector Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es Si un punto A(m,n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuación. Es decir: am+bn+c=0 La distancia es siempre una cantidad positiva. El valor absoluto de un número es positivo e igual al de su opuesto

56 Distancia de un punto a una recta (2)
Vamos a hallar la distancia del punto P(x0,y0) a la recta r de ecuación ax+by+c=0. d(P,r)=d(P,Q)= La distancia de un punto P a una recta r será igual a la distancia de P al pie de la perpendi-cular a r que pasa por P (lo llamaremos Q) r A P Sea A(x1,y1) un punto cualquiera de la recta r. ax1+by1+c=0 ax1+by1= -c Q y su vector direccional El vector es perpendicular a la recta r La distancia es siempre una cantidad positiva FÓRMULA DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

57 Distancia de un punto a una recta (Ejemplo)
GEOGEBRA Distancia de un punto a una recta (Ejemplo) Vamos a hallar la distancia del punto P(-3,5) a la recta r de ecuación x-3y+7=0. En el denominador, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y En el numerador, basta con sustituir las coordenadas del punto P en la ecuación de la recta

58 Distancia entre dos rectas paralelas
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastará con hallar la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta. r Sean r y s dos rectas paralelas: Pr(x0,y0) s Sea Pr(x0,y0) un punto de la recta r, es decir: Ax0+By0=-C

59 Hoja de problemas con soluciones:
Teoría y ejercicios: Maneja vectores: