NÚMEROS RACIONALES Día 01 * 1º BAD CS

NÚMEROS RACIONALES ESO Y BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES NATURALES (N) ENTEROS ( Z) NEGATIVOS RACIONALES ( Q ) FRACCIONARIOS REALES ( R ) IRRACIONALES OTROS BACHILLERATOS Y CARRERAS TÉCNICAS Y CIENTÍFICAS REALES ( R ) COMPLEJOS ( C ) IMAGINARIOS

EXPRESIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN Toda fracción puede escribirse en forma decimal. Para ello basta dividir el numerador entre el denominador. Al hacerlo pueden darse tres casos: 1.- Que la expresión decimal sea EXACTA. Podemos saberlo sin necesidad de hacer la división: Bastará que el denominador tenga como factores únicamente el 2 o el 5. EJEMPLO 1.- La fracción 7 / 4 Tiene como factor del denominador el 2 Multiplicamos numerador y denominador por 25: 175 / 100 = 1,75  Expresión decimal EXACTA

2.- Que la expresión decimal sea PERIÓDICA PURA. Podemos saberlo sin necesidad de hacer la división: Bastará que el denominador tenga factores distintos de 2 y de 5. EJEMPLOS 1.- La fracción 7 / 3 Dividimos numerador entre denominador: 7 / 3 = 2,3333…  Expresión periódica pura. 2.- La fracción 4 / 7 4 / 7 = 0,571428571428…  Expresión periódica pura.

3.- Que la expresión decimal sea PERIÓDICA MIXTA. Ahora presentará en su parte decimal una parte no periódica seguida de otra periódica. Podemos saberlo sin necesidad de hacer la división: Bastará que el denominador factores el 2 o el 5 y otros. EJEMPLOS 1.- La fracción 7 / 6 Dividimos numerador entre denominador: 7 / 6 = 1,16666…  Expresión periódica mixta. 2.- La fracción 4 / 35 4 / 35 = 0,1142857142857…  Expresión periódica mixta.

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN DECIMAL PERIÓDICO Toda expresión decimal periódica puede escribirse como una fracción. Al hacerlo pueden darse tres casos: 1.- Que la expresión decimal sea EXACTA. Se multiplica por 10, 100, 1000, … y se despeja la incógnita asignada. EJEMPLOS 1.- Sea x = 4,3 Multiplicamos por 10: 10.x = 43 Despejamos x: x = 43 / 10 2.- Sea x = 2,175 Multiplicamos por 1000: 1000.x = 2175 x = 2175 / 1000

2.- Que la expresión decimal sea periódica pura. Se multiplica por 10, 100, 1000, … para abarcar toda la parte periódica Se restan ambas expresiones, con lo que eliminamos la parte decimal igual en ambas. Y se despeja la incógnita asignada. EJEMPLOS 1.- Sea x = 4,33333… Multiplicamos por 10: 10.x = 43,333 Restamos x = 4,333 Queda: 9.x = 43 - 4 Despejamos x: x = 39 / 9 2.- Sea x = 2,171717… Multiplicamos por 100: 100.x = 217,1717… Restamos x = 2,1717… Queda: 99.x = 215 x = 215 / 99

3.- Que la expresión decimal sea periódica mixta. Se multiplica por 100, 1000, … para abarcar hasta el final de la parte periódica Se multiplica por 10,100, 1000, … para abarcar la parte decimal no periódica Se restan ambas expresiones, con lo que eliminamos la parte decimal igual en ambas. Y se despeja la incógnita asignada. EJEMPLOS 1.- Sea x = 4,7133333… Multiplicamos por 1000: 1000.x = 4713,333 Multiplicamos por 100: 100.x = 471,333 Al restar queda: 900.x = 4713 - 471 Despejamos x: x = 3242 / 900 2.- Sea n = 2,0171717… Multiplicamos por 1000: 1000.n = 2017,1717… Multiplicamos por 10: 10.n = 20,171717… Al restar queda 990.n = 2017 - 20 Despejamos n: n = 1997 / 990

CONCLUSIÓN Los números racionales se caracterizan porque pueden expresarse en forma de fracción, es decir como cociente de dos números enteros. x є Q ↔ existen a, b є Z tales que x = a / b, siendo b<>0 A la fracción a/b , simplificada, se llama FRACCIÓN GENERATRIZ También, en su forma decimal, los números racionales o bien son enteros o tienen una expresión decimal finita o periódica. PROPIEDAD En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números racionales. Por ello el conjunto Q es un conjunto denso. Ejemplo: ¿Hay algún número racional entre 3 / 7 y 4 / 7 ? Aparentemente no, pero 3/7 = 6/14 y 4/7 = 8/14 Luego 7/14 es un racional comprendido entre 3/7 y 4/7 ¿Y entre 6/14 y 7/14 ? Pues lo mismo que entre 12/28 y 14/28  El 13 / 28 Y así podíamos seguir hasta el infinito.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ( Q ) NÚMEROS NATURALES ( N ) 0 1 2 3 4 R Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) - 2 - 1 0 1 2 R Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2

NÚMEROS FRACCIONARIOS Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la unidad). d d d 0 2 / 3 1 R

OTRO EJEMPLO Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto 7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4. d d d d 0 1 7/4 2