Los Números Racionales Prof. Javier Sandoval. Objetivos: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión,

Presentación del tema: "Los Números Racionales Prof. Javier Sandoval. Objetivos: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión,"— Transcripción de la presentación:

1 Los Números Racionales Prof. Javier Sandoval

2 Objetivos: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

3 Objetivos: Aplicar las operaciones básicas en los números racionales. Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones. Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

4 1.Números racionales (Q) 1.1 Propiedades de los racionales 1.2 Operatoria en los racionales 1.3 Transformaciones de números racionales 1.4 Comparación de fracciones 2. Números irracionales (Q*) Contenidos 1.5 Secuencia numérica

5 1.Números Racionales ( Q ) Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489;2,18;-0,647 -1;-1; 8 14 ; 3 15, 0 NO es racional a: numerador y b: denominador

6 Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN ), 3 es Cardinal (3 IN 0 ), 3 es Entero (3 Z ), y como 3 =, 3 es racional (3 Q ). 3 1 IN IN 0 Z Q Todo número entero es racional.

7 Diagrama representativo:

8 1.1 Propiedades de los racionales Amplificar y simplificar fracciones Ejemplo: 2∙2∙ 3∙3∙ Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. 6 6 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 = 12 18 Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador. Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador. Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

9 Ejemplo: Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. 3 3 = 9 15 Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 45 27 : 45 : Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 es: 9 2 Ejemplo:

10 1.2 Operatoria en los racionales Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 = 11 15 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 = 2∙3 + 7∙1 45 = 6 + 7 45 = 13 45 4 15 - 7 = -3 15 y

11 3. Si los denominadores son primos entre sí: 5 12 + 7 18 = 5∙3 + 7∙2 36 15 + 14 36 == 29 36 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 4 5 + 7 8 = 4∙8 + 5∙7 40 32 + 35 40 == 67 40

12 -4 5 ∙ 8 7 = -32 35 = Multiplicación: Ejemplo: -4 5 7 8 = ∙ -28 40 = 28 40 - División: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = 32 35 - Número Mixto: Ejemplo: 8 3 5 = 8∙5 + 3 5 = 43 5

13 1.3 Transformación de números racionales De fracción a decimal: Ejemplo: Se divide el numerador por el denominador. 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: Ejemplo: El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. 100 175= 1,75 = 7 4 25∙7 25∙4 =

14 De un número decimal periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2.El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233 99 Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376 999 Nota : Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

15 3,21 = 321-32 = 289 90 De un número decimal semi periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2.El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota : Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período. Ejemplo:

16 1.4 Comparación de fracciones Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar(Multiplicando cruzado) 13 15 9 10 y 13 ∙ 10 y 15 ∙ 9 130 y 135 Como 130 < 135, entonces: 13 15 9 10 <

17 Igualando denominadores: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y 52 60 35 60 y Como 52 > 35, entonces 13 15 7 12 >

18 Transformar a decimal: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar(Transformando a decimal)y 13 15 =0,86666666… 7 12 =0,58333333… 13 15 7 12 > Como 0,86 > 0,583, entonces

19 Igualando Numeradores: Ejemplo: Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130) 10 3 13 4 y 10·13 3·13 13·10 4·10 y 130 39 130 40 y Por lo tanto, 10 3 13 4 es mayor que

20 Ejemplo: En la secuencia: 6, 5 16, 5 26, 5 36,... 5 ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1, 5 De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66. 5 Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 65 5 1, 5 65 = 13 5 Es decir: Respuesta: 1.5 Secuencia Numérica

21 Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1, 5 1 + 3, 5 1 + 5, 5 1 + 7, 5 1 + 13… 5..., 1°2°3°4°..., 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es, más un número impar, lo que se expresa como: 1 5 1 + (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)

22 Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). 2. Números Irracionales ( Q* ) Q* = Q U

23 Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual lo que hemos aprendido

24 Conjunto Q Propiedades y comparación Operatoria Transformaciones Decimal finito a fracción Decimal periódico a fracción Decimal semiperiódico a fracción Adición Sustracción Multiplicación División Simplificación Amplificación Fracciones equivalentes

25 Q U Q * = IR Conjunto Q * Decimales infinitos NO periódicos Conjunto Q Fracciones Impropia Propia Número mixto Decimales Finitos Infinitos periódicos Infinitos semiperiódicos

26 Material Complementario Libro Santillana Unidad n° 1: Número Racionales y Potencias. -Lección 1 ¿ Qué problemas no tienen solución en los enteros, pero si en los números naturales? Pág.10 -Lección 2: Los números decimales periódicos y semi-periódicos ¿ son números racionales? Pág.12 -Lección 5: ¿Cómo resolver operaciones con números racionales? Pág.26 -Lección 6: ¿Qué es la propiedad de clausura? Pág.32 - Lección 7: ¿Por qué los números racionales son densos? Pág.36