LÍMITES

Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma? Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.

Introducción a los límites Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites. Noción intuitiva Considere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1). Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos: x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1 y +1 0.75 1  7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75 f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado Graficando lo tabulado: ¿Qué pasa de 0 a 2?

Significado intuitivo de límite Tabulemos mas dentro de ese intervalo, sin tocar el uno. x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7 y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59 La grafica tiene una rompimiento en el punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de analizar la gráfica, podemos pensar que cuando x=1, su imagen (y)=3. Podemos concluir que el límite de f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3; Pero, en ésta forma es erroneo. Necesitamos aplicar el límite, en el punto donde la función no existe. Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1) x -> 1 x -> 1 =lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1) x -> 1 =lim (x2+x+1) = 12+1+1 = 3 Significado intuitivo de límite Def.: Decir que lim f(x)=L significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L. => Decir que lim f(x)=3, significa que cuando x está cerca de uno, pero no es uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.

Ejemplos: Encuentre: Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7 Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3) x3 =[(9-9)]/(3-3) = 0 / 0 =  Como nos dió infinito el resultado, no se debe resolver así. Debemos factorizar el numerador. Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3) x3 x3 = lim (x+2) = 3+2 = 5 Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5. Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1)) x1 = 0/0 = 0/0 =  Para resolver esta función, necesitamos conocer las propiedades de la raíz. Propiedades de la raíz. (a*b) = a * b a/b = a / b (a+b)  a + b a-b  a - b a* a = (a*a) = a2 = a  Lim (x-1)/((x-1))= x1 Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))= Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la izquierda?

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la derecha?

Definición de límite El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a» Se denota por:

Existencia del límite El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:

En el caso de las figuras anteriores en f(x)=x2, luego de ver los límites laterales por la izquierda y por la derecha, ¿qué concluye? Como: =

Límites de funciones Analicemos la función: La función está definida para toda x diferente de 1. Podemos simplificar la función de la siguiente manera: x  1 x y 1 –1 y = x + 1 2 x y 1 –1 2

Valores de x menores y mayores 1ue 1 0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 0.999999 1.000001 1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001 1.999999 2.000001 x  1 Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

Definición informal de límite Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe x y 1 –1 2 x y 1 –1 2 x y 1 –1 2

Funciones sin límite en un punto Oscila demasiado La función salta x y Crece demasiado

Ejercicio Encontrar y y = g(x) 1 1 2 3 x

Límites de Polinomios Teorema #2 Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0 Teorema #3 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Eliminación de denominador cero Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y x 1 5 3 2

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? 5 2

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y x 1 5 3 2 1 El límite existe, sin embargo, al ser f(1) ≠ 2, la función es discontinua en x=1

Dado el gráfico de f(x) :

Propiedades de los límites 1 2 3 4 5

Pasos para calcular límites Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada. Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc. Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -

Evaluar los siguientes límites

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Ejemplo 7:

Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

Ejemplo 10:

Conclusión: Dado: Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:

Límite de una sucesión

Ejemplo 11: e

Ejemplo 12:

Ejemplo 13:

Límites trigonométricos 1 5 2 6 3 7 4 8

Ejemplo 14: 1

Ejemplo 15: 1 Cos 0º=1

Ejemplo 16:

Ejemplo 17:

Ejemplo 17:

Importante: Por cambio de variable, tenemos:

A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

Ejemplo 18: 11 0,5 3

Ejemplo 18:  limite no existe y además es discontinua

Ejemplo 19: 1 -1 2 -4  limite no existe y además es discontinua

Ejemplo 20: Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten: donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Ejemplo 21: El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función: donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando se utilicen x unidades de droga. ¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?

Si f(x)= x3,calcular: