Tema III Determinantes MATEMÁTICAS A. CS II Tema III Determinantes @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. MATRICES ADJUNTAS TEMA 3.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a11.a22 - a12.a21 Para determinantes [3x3]: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 Para determinantes [nxn] en general: Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

ADJUNTOS DE UN DETERMINANTE Sea el desarrollo de un determinante de orden 3: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 Tomando los sumandos de dos en dos y sacando factores comunes, tenemos: |A| = a11.(a22.a33 – a23.a32 ) – a12.(a23.a31 – a21.a33 ) + a13.(a21.a32 – a22.a31 ) Las expresiones entre paréntesis son los adjuntos de los elementos tomados como factores comunes, en este caso de los elementos de la primera fila. De forma semejante podíamos haber tomado como factores comunes los términos de la segunda o tercera fila o columna. Pues bien, las expresiones entre paréntesis son los desarrollos de determinantes de orden dos, de orden inferior al determinante dado, pudiendo poner: a22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a11. – a12. + a13. a32 a33 a31 a33 a31 a32 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Guía gráfica de adjuntos Adjunto de un elemento Signo de los adjuntos En azul el adjunto de a21 Será + si la suma de índices es par a11 a12 a13 + – + – – + – + a21 a23 A = a22 A = – + – + a31 a32 a33 – + – + @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

DESARROLLO POR ADJUNTOS EJEMPLO 1 1 – 2 0 |A| = 3 1 2 – 2 0 4 Desarrollamos por Sarrus: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 |A| = 1.1.4+(-2).2.(-2)+3.0.0 – 0.1.(-2) – (-2).3.4 – 2.0.1 = = 4+8+0 – 0 – (– 24) – 0 = 36 Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: |A| = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 1 2 3 2 3 1 |A| = 1. – (– 2). + 0. 0 4 – 2 4 – 2 0 |A| = 1.4 + 2.(12 + 4) + 0.(0 + 2) = 4 + 32 + 0 = 36 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. EJEMPLO 2 17 – 29 48 |A| = 35 0 1 – 72 110 94 A la primera columna la restamos 35 veces la tercera columna, aprovechando que el elemento a23 vale 1, con lo cual su valor no varía. - 578 – 29 48 |A| = 0 0 1 – 3362 110 94 Desarrollamos por adjuntos de la segunda fila, aprovechando los ceros: |A| = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 -29 48 -578 48 -578 - 29 |A| = 0. – 0. + 1. 110 94 –3362 94 – 3362 110 |A| = 0.A21 – 0.A22 + 1.((-578).110 – (-29).(-3362)) = – 161078 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

DESARROLLO POR ADJUNTOS Sea el determinante de orden 4: Atención: No se puede desarrollar por Sarrus. Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: |A|=1.(12+2) + 2.(36+2+12) – 1.(4 – 4 – 12) = 14 + 100 + 12 = 126 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. MÉTODO DEL PIVOTE RECORDATORIO PREVIO Si un determinante es de orden 4 o superior, NO se puede desarrollar por Sarrus. Hay que desarrollarlo, para hallar su valor, por adjuntos de cualquier fila o columna. Ello puede parecer muy engorroso, muy largo. Pero si nos fijamos bien, cuantos más ceros tenga una fila, más fácil y rápido es el desarrollo. Lo ideal seria que en una fila o columna todos fueran ceros, excepto un término distinto de cero, generalmente de valor 1, llamado pivote. Esa situación ideal de un determinante de orden superior a 3 se consigue aplicando previamente en el determinante la PROPIEDAD VII VII.- Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. Aplicando adecuadamente dicha propiedad conseguimos que todos los elementos, menos uno, de la fila o columna que queramos sean ceros, sin que por ello cambie el valor del determinante. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. EJEMPLOS 1.- Sea el determinante de orden 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila. Fijamos el elemento a11=1 como nuestro pivote. Queremos conseguir la primera fila sea [ 1 0 0 0] A la 2ª C la sumo 2 veces la 1ª C A la 3ª C la resto la 1ª C Y ya puedo desarrollar por Sarrus el único determinante de orden 3. (O conseguir más ceros en el determinante de orden 3). |A|= 56+18+0 – (– 36) – 0 – (– 16) = 74 – ( – 52) = 126 La solución es la misma que al resolverlo sin el método del pivote. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. EJEMPLOS 2.- Sea el determinante de orden 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila. A la 2º C la quito la 3ª C para conseguir el pivote, el 1. Fijamos el elemento a12=1 como nuestro pivote. Queremos conseguir la primera fila sea [ 0 1 0 0] A la 1ª C la quito 5 veces la 2ª C A la 3ª C la resto 2 veces la 2ª C Y ya puedo desarrollar por Sarrus el único determinante de orden 3. (O conseguir otro pivote para simplificar su desarrollo) |A|= – (– 750 – 216 + 21 + 210 – 120 + 135 ) = 720 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.