En la figura, ACB=EDB. a) Prueba que ΔABC  ΔEDB b) Si AC=10 cm , AB=24 cm y EB=15 cm, calcula la longitud de ED 15 cm A B C D E . 10 cm Tiempo para copiar 24 cm

En la figura, ACB=EDB. a) Prueba que ΔABC  ΔEDB A B C D E . En los triángulos ABC y EDB ΔABC  ΔEDB ACB=EDB (dato) Tienen dos ángulos respectivamente iguales (a,a) B (común)

? ΔABC  ΔEDB 15 cm A B C D E 10 cm AB AC CB = 24 cm EB ED DB 5 Lados proporcionales 15·10 ED = = CB ED DB 24 10 24 8 15 ED = 0,625·10 ED = 6,25 cm .

Estudio independiente En la figura, AC bisectriz del DAB. ΔACB rectángulo en C y DE CB. A B C D E a) Demuestra que ΔABC  ΔADE . b) Prueba que BC·AE=DE·AC Tiempo para copiar

En la figura, ABCD es un rectángulo y DB es una diagonal con CE  DB. a) Prueba que ΔABDΔCBE. b) Si EC=12 cm y EB=5,0 cm , calcula el área del rectángulo. A B C D E Tiempo para copiar .

a) ΔABD rectángulo en A A B C D E . (ABCD rectángulo) ΔCBE rectángulo en E ADB=EBC (alternos entre los segmentos BC AD del rectángulo y la diagonal DB) (CE  DB dato) DAB=CEB Tienen dos ángulos respectivamente iguales (a,a) ΔABDΔCBE

A A En el ΔCBE rectángulo A B C D E b) = 4,1 dm2 5 12 13 13 lado opuesto del rectángulo BC2=CE2+EB2 Teorema de Pitágoras 31,2 BC=122+52 =144+25 =169 =13cm ΔABDΔCBE (lados proporcionales) 12·13 5 CB CE EB AB= =31,2cm = DB AB AD . A =13·31,2 = DB AB 13 12 5 = 405,6 cm2

· En la figura B A, B, C y D son puntos de la circunferencia de centro O . DB es diámetro y AC  BE . · A B E C D O . a) Demuestra que ΔBCD  ΔABE b) Demuestra que AB·BC = BD·BE Tiempo para copiar

· ΔBDC B rectángulo en C (BCD inscrito sobre el diámetro) A C E ΔAEB rectángulo en E (dato AC  BE ) A =D . (inscritos sobre el mismo arco BC) Triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual. (a,a) ΔBDC  ΔAEB

· = ΔBDC  ΔAEB A B E C D O BD BC DC AB BE AE (lados proporcionales) entonces: . AB·BC = BD·BE Comprueba que el perímetro del círculo mide 173,45 cm si: AB=29 cm, AE=20 cm y BC=40 cm ESTUDIO INDIVIDUAL AB·BC = BD·BE Demuestra que:

La bisectriz de un ángulo en un Teorema de la bisectriz La bisectriz de un ángulo en un triángulo cualquiera, divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo. . B A C a CP bisectriz del BCA m P b m = n a b n

. Q b C 4 a AQ PC 1 2 B CQ prolon- gación de BC m b P 3 CP bisectriz del BCA . Q b C 4 a AQ PC 1 2 B CQ prolon- gación de BC m b P 3 1=2 (bisectriz) n 2=3 (alternos entre A AQ PC) 4=1 (corresp. entre a = b m n AQ PC) 4=3 (propiedad CQ=b transitiva) Teorema transversales de las ΔAQC isósceles de base AQ

En el triángulo ABC, CP es la bisectriz del C . Estudio individual En el triángulo ABC, CP es la bisectriz del C . 18 cm x+8 x 6,0 cm A B C P . Comprueba que AB=10 cm

Ejercicio 1 ABCD es un rectángulo de área A = 9,6 dm2. E y F son puntos medios de los lados DC y DA respectivamente. Prueba que ABD ~ DFE. Halla el área del DFE. E D C F A B

= 12 DE DF = DC DA BAD = EDF (justificar) Solución del ejercicio 1 En los triángulos DFE y ABD tenemos: DE DF 12 E D C = = DC DA F BAD = EDF A B (justificar) Entonces, ABD ~ DFE por tener dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido entre ellos.

= = ( )2 Y = DE DF 12 12 = DC DA AABCD = Y = 9,6 dm2 AABD = Y 12 12 Solución del ejercicio 1 E DE DF 12 12 D C = = DC DA F AABCD = Y = 9,6 dm2 A B AABD = Y 12 = ( )2 Y 12 AEDF = k2AABD =  9,6 dm2 12 AEDF =1,2 dm2

Prueba que: AADC = ADBC En el ABC, CD es la C bisectriz del BCA. BCA = BDE y el AED es isósceles de base AE. B C D A E Prueba que: ABC  EBD. BD es bisectriz del EBC. AADC ADBC AD DB = c)

(por ser CD bisectriz del BCA) AD = DE ( AED isósceles de base AE) (1) BCA = BDE (por dato) AC CB AD DB = (por ser CD bisectriz del BCA) AD = DE ( AED isósceles de base AE) AC CB DE DB = AC CB DE DB = AC DE CB DB =  entonces, (2)

B C D A E (1) BCA = BDE Entonces, ABC  EBD por tener dos lados respectivamente propor- cionales e igual el ángulo compren- dido entre ellos. AC DE CB DB = (2)

D C B A E F En la figura: ABCD es un cuadrado de 10 cm de lado y E es el punto medio del lado BC. AFDE . . a) Prueba que ABE = DEC b) Prueba que ADF ~ DEC Calcula el área del AFE c)

A 10 a) ΔDEC rectángulo C D en C F 5 ΔABE rectángulo en B E 25 5 ΔABE rectángulo en B (ABCD cuadrado) 25 DCE=ABE=90o CE=EB (E punto medio de BC) . (ABCD cuadrado) AB=DC dos lados y (tienen resp. el ángulo comprendido) iguales ΔDEC=ΔABE A ΔDEC DC·CE 2 = = 10·5 2 =25 cm2

A ? = = 10 b) ΔDEC rectángulo C D F en C 5 (ABCD cuadrado) 10 25 5 (ABCD cuadrado) A 10 ΔDAF rectángulo en F . (dato AF  DE ) DCE=DFA=90o ΔDAF  ΔDEC ADF=DEC (tienen dos ángulos iguales resp.) AD BC (alternos entre del cuadrado) (a,a) AD 10 ? = K = DE DE

A A = A ? = 5 5 10 D C B A E F c) ΔDAF  ΔDEC 5 DE2=DC2+CE2 10 25 5 DE2=DC2+CE2 A 10 Teorema de Pitágoras DE= 2+ 2 =100+25 10 5 = 53 =52·5 =125 . =55 DE 25 5 = = K AD DE 10 5 = 2 5 · ? 55 25 5 K= DE A = DAF K · 2 A DEC K1 K0,896

A =16 cm2 Estudio individual En el dibujo: . CA es bisectriz del DCB ΔABC y ΔDEC isósceles C de bases AB y DE respectivamente. DC=6,0 cm 9,0 cm2 D AE=2,0 cm A =16 cm2 ΔABC E Calcula el área A B del ΔDEC .

A = A A A = A A A = A = = 10 D C B A E F c) ΔDAF  ΔDEC 5 DAF K · 2 25 5 A = DAF K · 2 A DEC A 20 10 30 25 . 2 25 5 A = DAF ·25 A ABCD =AD2 =102 4·5 25 = A ABCD =100 cm2 ·25 A = DAF 20 cm2 25 5 K= A = AFE 30 cm2

. 10 D C B A E F 20 10 30 50 Otra vía para calcular el área del ΔAFE.

Demostrar que: "Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia desde un punto exterior E, entonces EB  EA = EC  ED“. (A, B, C y D son puntos de la circunferencia) B A C D  O E

Trazamos las cuerdas AC y DB. Demostración Trazamos las cuerdas AC y DB. B A C D  O E En los triángulos EDB y ECA tenemos: E es común. EAC =EDB por inscritos sobre el mismo arco BC.

Demostración E es común. EAC =EDB Entonces: EDB  ECA EB EC ED EA  O E EAC =EDB Entonces: EDB  ECA (Por tener dos ángulos respectivamente iguales) EB EC ED EA BD CA Luego: = = (Proporcionalidad entre los lados homólogos en triángulos semejantes)

Demostración EB EC ED EA BD CA = EB  EA = EC  ED  O E EB EC ED EA BD CA = Y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se tiene: (que es lo que se quería demostrar) EB  EA = EC  ED

Demostrar que: "Si la recta AB es secante y EC tangente a una circunferencia desde un punto exterior E, entonces EB  EA = EC2 ". (A, B y C son puntos de la circunferencia) C E  O B A

Demostrar que: EB  EA = EC  ED". "Si AB y CD son dos cuerdas que se cortan en un punto E exterior a una circunferencia, entonces EB  EA = EC  ED". (A, B, C y D son puntos de la circunferencia) D O B  E A C

Trazamos las cuerdas AC y BD. Demostración Trazamos las cuerdas AC y BD.  B A D C E O En los triángulos ACE y BDE tenemos: CEA =DEB (opuestos por el vértice) EAC =BDE por inscritos sobre el mismo arco BC.

Demostración CEA =DEB EAC =BDE Entonces: BDE  ACE EB EC ED EA BD  B A D C E O EAC =BDE Entonces: BDE  ACE (Por tener dos ángulos respectivamente iguales) EB EC ED EA BD CA Luego: = = (Proporcionalidad entre los lados homólogos en triángulos semejantes)

Demostración EB EC ED EA BD CA = EB  EA = EC  ED  B A D C E O EB EC ED EA BD CA = Y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se tiene: (que es lo que se quería demostrar) EB  EA = EC  ED