Repaso sobre el grupo de Teoremas de Pitágoras. Clase 143.

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1 Repaso sobre el grupo de Teoremas de Pitágoras. Clase 143

2 Revisión del estudio individual. 1.En la figura: ED  BC;  = 50 0 ;  = 30 0 y ; CA y ED se cortan en F. Halla  y . D A BCF E    

3 D A B C F E     por ser ED  BC, entonces  BDE es rectángulo en E.  +  = 90 0  + 50 0 = 90 0  = 90 0 – 50 0  = 40 0  DFA =  por ángulos opuestos por el vértice.  DFA = 30 0 por ángulos complementarios de un triángulo rectángulo

4 D A B C F E      =  +  DFA por ángulo exterior al  DFA.  = 40 0 + 30 0  = 70 0

5 Teorema del ángulo de 300: c = 2a ; si  = 300 c = 2b ; si  = 300 Razones trigonométricas En todo triángulo rectángulo se cumple: En todo triángulo rectángulo se cumple: AA BBCCaa bb cc pp qq hh Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 Teorema de la altura: h2 = p·q Teorema de los catetos: a2= q·c ; b2= p·c Grupo de teoremas de Pitágoras

6 Ejercicio 1 En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3,0 u y 4,0 u respectivamente, halla la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3,0 u y 4,0 u respectivamente, halla la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.

7 A B Ca b c hchchchc hchchchc qq pp a = 4,0u ; b = 3,0u por el T TT Teorema de Pitágoras tenemos: c 2 = a 2 + b 2 c 2 = (4u) 2 + (3u) 2 c 2 = 16u 2 + 9u 2 c 2 = 25u 2 c = 5u por el T TT Teorema de los catetos tenemos: a 2 = q · c q = a2a2 c 16u 2 5u = = 3,2u

8 A B Ca b c hchchchc hchchchc qq pp p = c – q por d dd diferencia de segmentos tenemos: p = 5u – 3,2u p = 1,8u por el T TT Teorema de la altura tenemos: h 2 = p · q h 2 = 1,8u · 3,2u h 2 = 5,76u 2 h = 2,4u

9 Ejercicio 2 El perímetro de un triángulo isósceles es de 36 cm. Si los lados iguales miden 13 cm. Calcula: a) la longitud de la altura relativa a la base, b) la distancia del pie de dicha altura a cualquiera de los lados iguales. El perímetro de un triángulo isósceles es de 36 cm. Si los lados iguales miden 13 cm. Calcula: a) la longitud de la altura relativa a la base, b) la distancia del pie de dicha altura a cualquiera de los lados iguales.

10 M N RRQQ  MNR: isósceles de base MN, RQ = h MN p = 36cm; MR = NR =13cm p = 2MR + MN por ser el  MNR isósceles de base MN. 36cm = 2·13cm + MN 36cm = 26cm + MN MN = 10cm

11 M N RRQQ como en el triángulo isósceles la altura relativa a la base coincide con la mediana y mediatriz relativa a ese lado, entonces: NQ = MN 2 10cm 2 = = 5cm  NQR rectángulo en Q por ser RQ = h MN

12 M N RRQQ por el Teorema de Pitágoras RN 2 = RQ 2 + NQ 2 RQ 2 = RN 2 – NQ 2 RQ 2 = (13cm) 2 – (5cm) 2 RQ 2 = 169cm 2 – 25cm 2 RQ 2 = 144cm 2 RQ = 12cm

13 M N RRQQ S En el triángulo rectángulo RQN tenemos: QS = h RN por el T TT Teorema de los catetos QN 2 = SN · RN SN = QN 2 RN 5252 13 = 25 13 =  1,92 cm b)

14 M N RRQQ S En el  QSN rectángulo en S tenemos por el Teorema de Pitágoras que: QN 2 = SN 2 + QS 2 QS 2 = QN 2 – SN 2 QS 2 = 5 2 – 1,92 2 QS 2 = 25 – 3,6864 QS 2 = 21,3136 QS 2  21,31 QS   21,31 QS  4,62 cmLa distancia del centro de la base a los lados iguales es de 4,62cm.

15 En el  ABC rectángulo en C, a = 36,0cm y b = 15,0cm. Calcula el área de cada uno de los rectángulos sombreados en la figura. A B C a b q h h p b A1A1A1A1 A2A2A2A2 Para el estudio individual Resp: A1= 498 cm2; A2= 192 cm2

16 c 2 = a 2 + b 2 por el Teorema de Pitágoras. c 2 = (36) 2 + (15) 2 c 2 = 1 296 + 225 c 2 = 1 521 c = 1 521 c = 39 cm por el teorema de los catetos tenemos: a 2 = p  c p = a2a2 c 36 2 39 = = 1 296 39  33,23 A 1 = p  b = 33,23  15 = 498,45 cm 2  498 cm 2