Derivadas parciales Aproximación por la diferencial

Función en n variables Definición: Una función f, en n variables es una regla que asigna a cada n-upla (x1,x2,........xn) de números reales, un único número real z, denotado por f (x1,x2,........xn) ; esto es ; f : n   (x1,x2,......xn)  f (x1,x2,......xn) Definición: Si f es una función en n variables x1,x2,........xn, la derivada parcial de f con respecto a su j-esima variable xj, se obtiene derivando f con respecto a esa variable xj, permaneciendo las demás variables constantes.

Notación para una función en dos variables Sea z = f(x,y), función en las variables x e y La derivada de f con respecto a la variable x se escribe: (se lee parcial de z con respecto a x) La derivada de f con respecto a la variable y se escribe:

Ejemplo Hallar las derivadas parciales fx, fy para las funciones dadas: 1.- f(x,y) = 2x4y3 - xy2 fx(x,y) = 8x3y3 - y2 fy(x,y) = 6x4y2 - 2xy 2.- f(x,y) = xey + ysen(2x) fx(x,y) = ey + 2ycos(2x) fy(x,y) = xey + sen(2x)

Ejercicios Hallar las derivadas parciales fx y fy para cada una de las funciones dadas: 1.- f(x,y) = ex Ln(x2y) 2.- f(x,y,z) = xez - xyex + ze-y 3.- f(x,y) = 2x8y3 + xy5 + 3y + 14 4.- f(r,s,t) = r2e2scost 5.- f(x,y,z) = xez – yex + ze-y 6.-

Interpretación geométrica (x, y0 , f(x, y0 )) (x0, y , f(x0, y )) fx es la pendiente de la recta tangente a la curva, sobre el plano y = yo. Derivada en la dirección de x. fy es la pendiente de la recta tangente a la curva sobre el plano x = xo. Derivada en la dirección de y.

Ejemplo Sea la función de dos variables, f(x,y) = 9 - x2- y2. Determine la pendiente de dicha superficie en el punto (2, 1, 4), en las direcciones de x e y . Pendiente en la dirección de x Pendiente en la dirección de y ¿Como se determina la recta tangente en dicho punto?

…Continuación Usando la ecuación punto-pendiente: y - y0 = m(x – x0) ya que estamos sobre un plano La recta tangente sobre el plano y = y0 es: y – 1 = -4(x – 2)  y = -4x + 9 La recta tangente sobre el plano x = x0 es: y – 1 = -2(x – 2)  y = -2x + 5 3 -3 9 z = 9 - x2- y2

Derivadas parciales de segundo orden Si z = f(x,y), la derivada parcial de fx con respecto a la variable x es: La derivada parcial de fy con respecto a la variable y es:

Derivadas parciales cruzadas Si z = f(x,y), la derivada parcial de fx con respecto a la variables y es: La derivada parcial de fy con respecto a x es: Estas derivadas cruzadas siempre son iguales puesto que las funciones son continuas

Ejemplo Sea la función en dos variables f(x,y) = x3e-2y + y-2cosx , entonces fx(x,y) = 3x2e-2y - y-2senx fy(x,y) = -2x3e-2y -2y-3cosx fxy(x,y) = -6x2e-2y + 2y-3senx fyx(x,y) = -6x2e-2y + 2y-3senx

Ejercicios 1.- Determine las segundas derivadas parciales fxx, fyy, fxy de la función de dos variables: f(x,y) = 3xy2 - 2y + 5x2y2. Calcule el valor de fxy(2, 1). 2.- Pruebe que fxz = fzx y que fxzz = fzzx para la función de tres variables: f(x,y,z) = yex + xLnz

Aplicación (análisis marginal) Nota: Es la practica de usar una derivada para estimar el cambio producido en el valor de una función al aumentar 1 unidad en su variables independiente. Recordemos que para la función de una variable: y = f(x), si se incrementa x en 1 unid, la variación de f es: f = f(x + 1) – f(x)  f’(x) Entonces: Si z = f(x,y) y se tiene una variación de x en 1 unidad permaneciendo y constante se tendrá: z = f(x + 1,y) – f(x,y)  fx(x,y) Análogamente: z = f(x,y + 1) – f(x,y)  fy(x,y)

Ejemplo: Problema 27, pág 506 Producción diaria: Q(k,L) = 60k1/2 L1/3 unidades k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000. L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. La inversión actual es de $900.000 y se utilizan 1000 h-t. Estime el efecto provocado en la producción diaria por una inversión adicional de capital de $1000, si el tamaño de la fuerza laboral no cambia.

…continuación El objetivo es determinar la variación de la producción en los niveles actuales: k = 900 y L = 1000 si k = 1. Ahora bien: Q(k,L)  Qk(k,L) Entonces para: Qk(k,L) = 30k-1/2.L1/3 La producción diaria aumentará en 10 unidades aproximadamente, si hay un incremento de mil $ en la inversión de capital.

Aproximación por la diferencial total Supongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si x representa un cambio pequeño en x y y un cambio pequeño en y, entonces el correspondiente cambio en z viene dado por: f  fxx + fyy = df (diferencial total) fxx es el cambio en f con respecto a x, cuando y no varía fyy es el cambio en f con respecto a y, cuando x no varía

Ejercicio Problema 38: pág 521 (Hoffmann) En cierta fábrica la producción diaria es Q(k,L) = 120k1/2.L1/3 unidades, donde K es la inversión de capital (miles de $) y L es el tamaño de la fuerza laboral (horas-trabajador). Nivel actual de inversión $400.000, tamaño de fuerza laboral 1.000 h-t. Estime el cambio resultante en la producción si la inversión de capital aumenta en $500 y la mano de obra se incrementa en 4 horas-trabajador.

Solución Objetivo, determinar el cambio de la producción en los niveles actuales k = 400 y L = 1000 si k = 500 y L = 4 . Ahora bien: Q(k,L)  dQ(K, L) = Qk(k, L) k + QL(k,L) L La producción diaria aumentará en unidades aproximadamente si hay una inversión de capital adicional de $ mil y las horas trabajador se incrementan en 4.

Ejercicios 1.- Problema 40: pág 522 (Hoffmann) Un editor calcula que si invierte x miles de $ en desarrollo e y miles de $ en promoción, se venderán aproximadamente Q(x,y) = 20x3/2y ejemplares de un libro. Actualmente los planes exigen una inversión de $36.000 en desarrollo y $25.000 en promoción. Estime el cambio resultante en las ventas, si la cantidad invertida en desarrollo aumenta en $500 y la invertida en promoción disminuye en $500. 2.- Para : . Aproxime el valor f(4.1, 1.9, 9.1),

Aproximación porcentual Supongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si x representa un cambio pequeño en x y y un cambio pequeño en y entonces el cambio porcentual en z es: Cambio porcentual en z

Ejemplo Producción diaria: Q(k,L) = 60k1/2 L1/3 unidades k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000. L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Estime el porcentaje de cambio en la producción diaria si la inversión de capital aumenta en 1% y la fuerza laboral aumenta en 2%. (k = 0,01K y L = 0,02L)