Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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1 Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
MÉTODOS NUMÉRICOS

2 Curvas solución sin una solución (Campo de dirección)
Si se evalúa f de forma sistemática en una red de puntos rectangular en el plano xy y se traza un elemento lineal en cada punto (x,y) de la red con pendiente f(x,y), entonces la colección de estos elementos lineales se llama campo de dirección o campo de pendientes de la ecuación diferencial dy/dx=f(x,y).

3 Campo de dirección De manera gráfica, un campo de dirección indica la apariencia o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial y, en consecuencia, podría ser posible ver de un vistazo ciertos aspectos cualitativos de las soluciones.

4 Ejemplo El campo de direcciones para la ecuación diferencial dy/dx = 0.2xy, así como algunas curvas solución se muestran en las siguientes figuras:

5 Solución del PVI Suponga que el Problema de Valor Inicial de primer orden: y´=f(x,y) con y(x0)=y0 posee una solución. Una forma de poder aproximar esta solución es utilizar rectas tangentes.

6 Método de Euler (Aproximación de y(x1) por medio de la recta tangente)
Sea y(x) la solución desconocida del PVI. Utilizando la linealización de la solución desconocida y(x) en x=x0: L(x) = y0 + f(x0,y0)[x-x0] La gráfica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica de y=y(x) en el punto (x0,y0).

7 Método de Euler... Si representamos con h un incremento positivo en el eje x, entonces al sustituir x por x1=x0+h se obtiene: L(x1) = y0 + f(x0,y0)(x0+h-x0) ó y1 = y0 + hf(x1,y1) donde: y1 = L(x1) El punto (x1,y1) en la recta tangente es una aproximación al punto (x1,y(x1)) en la solución. La precisión de la aproximación depende del tamaño de h.

8 Método de Euler... Por lo común, se debe elegir este tamaño de paso como “razonablemente pequeño”. Si repetimos el proceso para una segunda recta tangente en (x1,y1) tenemos ahora: y(x2) = y(x0+2h) = y(x1+h) Lo anterior es aproximadamente igual a y2 = y1+hf(x1,y1) Continuando de esta manera se puede obtener una forma recursiva: yn+1 = yn + hf(xn,yn) donde xn=x0+nh para n=0,1,2,… Este procedimiento se conoce como método de Euler.

9 Problema Considere el problema de valor inicial: Use el Método de Euler para obtener una aproximación de y(2.5) primero con h=0.1 y luego con h=0.05

10 Solución del PVI h= 0.1 X Y h= 0.05 X Y 2 4 2.1 4.18 2.2 4.376845048
2.3 2.4 2.5 h= 0.05 X Y 2 4 2.05 4.09 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5

11 Problemas Utilice el Método de Euler para obtener una aproximación de al menos cuatro cifras del valor indicado. y(0)=1 y(0.5) h=0.05 y(1)=1 y(1.5) h=0.01 y(p/2) h=0.1