“Universidad Nacional Federico Villarreal”

Presentación del tema: "“Universidad Nacional Federico Villarreal”"— Transcripción de la presentación:

1 “Universidad Nacional Federico Villarreal”

2 Análisis Matemático para Economistas III
Profesor: Luis Figueroa Tema: Maximización de funciones de dos variables Integrantes: Cotrina Rodriguez, Cynthia Yasmin Miranda Gutierrez, Augusto Miguel Vásquez Cajo, Miguel Ángel Zúñiga Chumo, Milagros

3 MAXIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Un máximo de una función F(x,y) es una cima, un punto sobre la superficie Z=F(x,y) que es mas alto que cualquier punto de la superficie. APLICACIONES: 1. Una empresa produce dos tipos de agua mineral en cantidades x e y botellas respectivamente. Asumamos que el precio del agua sin gas es Px= 90-x, además el del agua con gas es de Py=90-y, siendo la función de costo conjunto de los productos igual a C(x,y)=x2+ xy + y2 ¿Cuáles deberían ser los valores de “x” y “y” para maximizar las utilidades de esta empresa? SOLUCION: Datos: .Precios Px=80-x y Py=96-y .Función de costos C=x2+xy+y2

4 Sabemos que la UT=Yt – Ct …(i)
It : Ingreso total Ct : Costo total Primero definimos los ingresos: Ix= x(90-x) y Iy= y(90-y) Reemplazamos en (i) para obtener la utilidad total: UT=x(80-x)+y(96-y)-(x2+xy+y2 ) UT=80x-x2+96y-y2-x2-xy-y2 UT=80x+96y-2x2-2y2 Derivamos la función utilidad respecto a “x” e igualamos a cero: dUT = 80-4x=0…(ii) dx De la misma manera para “y”: dUT = 96-4y=0…(iii) dy

5 .De (ii) tenemos: 80-4x=0 4x=80 X=20 .De (iii) tenemos: 96-4y=0 4y=96 y=24 Reemplazamos los valores de “x” e “y” en los precios y de donde obtenemos lo siguiente: Px= y Py=96-24 Px= Py=72 Pto(60,72) .

6 Aplicamos el criterio de la segunda derivada:
d2U = -4 < 0 dx2 dy2 d2U = 0 dxdy D= (-4)(-4) – (0)2 D= 16 > 0 Para maximizar las utilidades de la empresa los valores de “x” y “y” son (60,72) respectivamente

7 2. Una tienda de licores vende dos marcas competidoras de vino barato, una de California y otra de Nueva York. El propietario de la tienda puede obtener ambos vinos a un coste de $ 2 por botella y estima que si el vino de California se vende a “x” dólares por botella y el vino de Nueva York a “y” dólares por botella, los consumidores comprarán aproximadamente 40 – 50x + 40y botellas de vino de California y x – 60y botellas de vino de Nueva York cada día. ¿Qué precio deberá poner el propietario de los vinos para generar el mejor beneficio posible? UT=(x-2)(40-50x+40y) + (y-2)(20+60x-70y) UT=40x-50x2+40xy-8+100x-80y+20y+60xy-70y x+140y UT=20x+80y+100xy-50x2-70y2-120 dUT= y-100x = 0 dx dUT= x-140y=0 dy

8 Para hallar “x” e “y” 100-40y=0 100=40y 2.5=y (Nueva York)  =x (California) Aplicando el criterio de la segunda derivada: d2UT = - 100<0 d2x d2UT = - 140<0 d2y d2UT = 100 dxdy Hallando la determinante: D=(-100)(-140) – (100)2 D=4000>0 Ptos (2.7;2.5)  Puntos Máximos

9 3. La única tienda de combustibles de una pequeña comunidad rural vende dos marcas de sumo de naranja helado, una marca local que obtiene un coste de S/ por lata y una marca nacional muy conocida que obtiene un coste de S/: 0.40 por lata. El tendero estima que si la marca local se vende a “x” centavos por lata y la marca nacional a “y” por lata, se venderán cada día aproximadamente 70-5x+4y latas de la marca local y 80+6x-7y latas de la marca nacional. ¿Qué precios debería poner el tendero a cada marca para maximizar el beneficio en la venta del jugo? Suponga que el máximo absoluto y el máximo relativo de la función beneficio son el mismo. Solución: Beneficio = beneficio de la venta de la marca local + beneficio de la venta de la marca nacional Se sigue que el beneficio diario total de la venta del jugo viene dado por la función UT=(X-30)(70-5X+4Y) + (Y-40)(80+6X-7Y) Usando la regla del producto para calcular las derivadas parciales den UT, obtiene:

10 dUT = -10x+10y-20 dx dUT = 10x-14y+240 dy Iguale estas derivadas parciales a cero para concluir que: 10x+10y -20=0 … (1) 10x-14y+240=0….(2) - 4y= -220 y= 55 Reemplazando en (1): 10x+10y-20=0 10x+10(55)=20 10x= - 530 x= 53

11 Se sigue que (53,55) es el único punto critico de F
Se sigue que (53,55) es el único punto critico de F. Use las derivadas parciales de segundo orden: Derivamos con respecto a “x”: dUT = - 10x +10y-20 dx d2UT = - 10 dx2 Derivamos con respecto a “y” dUT = 10x – 14y+240 dy d2UT = -14 dy2 Derivamos con respecto a “x” y “y” dUT = - 10x+ 10y – 20 dxdy d2UT = 10 Que conducen a D(x,y)= d2UT x d2UT – d2UT= (-10)(-14) – (10)2 = 40 dx dy dxdy

12 Como D(53,55)=40>0 y d2UT = - 10<0 d2UT = -14<0
dx dy2 Se sigue que F tiene un máximo (relativo) cuando x = 53 e y =55 Esto es, el tendero puede maximizar el beneficio vendiendo la marca local de jugo a 53 centavos la lata y la marca nacional a 55 centavos la lata.

13 4. La empresa “Cachorros Anónimos” focaliza su producción en la elaboración de dos tipos de bienes “t” y “s”, siendo sus respectivos precios Pt=100-t y Ps=90-s. Cuando su función de costo es C=600+20x+20y ¿Cuáles deben ser las cantidades para que la utilidad sea máxima? SOLUCION: Dados los precios Pt=100 – t Ps= 90 – s C= t+20s Definimos los ingresos: It= 100t – t Is= 90s – s2 La función utilidad: UT= 100t – t s – s2 - ( t + 20s) Derivando la función utilidad con respecto a “t” e igualando a cero obtenemos: dUT = 100 – 2t – 20 =0  t = 40 dt

14 De la misma manera “s” obtenemos
dUT = 90 – 2s – 20 =  s = 35 ds Por el criterio de la segunda derivada d2UT = - 2 < 0 dt2 ds2 d2UT = 0 dtds Hallando la determinante: D = (- 2) (- 2) – (0)2 D= 4 >  Punto (40 , 35) Máximo

15 5. Una empresa de utensilios de cocina presenta una función de Producción (p) dada por
P(K,L)=0.54L L K K3 En donde L y K son las cantidades de mano de obra y capital respectivamente y P es la cantidad de productos que se fabrican. ¿calcular los valores de L y K que maximizan la producción? Solución: dP = 1.08L – 0.06L2 = 0 dL dP = 3.78K – 0.27K2 = 0 dK K(3.78 – 0.27K)= 0 K = 0 L(1.08 – 0.06L)= 0 L = 0 3.78K = 0.27K2 K = 14 1.08L = 0.06L2 L = 18

16 Por lo tanto: Los puntos son los siguientes: Punto 1: (0,0)
Luego se halla la segunda derivada: d2P = – 0.12L dL2 d2P = – 0.54K dK2 d2P = 0 dxdy

17 Posteriormente se halla la determinante en cada uno de los puntos:
En el punto (0,0) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (1.08)(3.78) – (0)2 D=  Este es un punto mínimo En el punto (0,14) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (1.08)(-3.78) – (0)2 D=  En este punto no existe ni máximo ni mínimo

18 En el punto (18,0) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (-1.08)(3.78) – (0)2 D=  En este punto no existe ni máximo ni mínimo En el punto (18,14) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (-1.08)(-3.78) – (0)2 D=4.0824  Este es punto máximo

19 Y por lo tanto sacamos como respuesta que en el punto (18,14) se alcanza la máxima producción
Mano de obra (L)= 18 Capital (K)= 14