Unidad 5: Funciones de varias variables

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1 Unidad 5: Funciones de varias variables
Análisis Marginal

2 Derivadas Parciales: Supóngase que z = f (x; y). La derivada parcial de f respecto de x, se denota mediante: o y es la función obtenida mediante derivación de f respecto de x, si y permanece constante.

3 La derivada parcial de f respecto de y, se denota mediante:
y es la función obtenida mediante derivación de f respecto de y, si x se mantiene constante.

4 Ejemplos: 1. Para la función a. Halle las derivadas parciales fx(x; y) y fy(x; y). b. Halle el valor de fx(-1;-2 ) y fy(1; 2). 2. Halle las derivadas parciales si z = (x2 - xy + y2)5 3. Halle las derivadas parciales fx y fy si: f(x; y) = xe-2xy

5 Ejemplos: 4. Dada la función: f(x; y) = x3 + y2 – 6xy + 9x + 5y +2 determine los pares ordenados (x; y) tal que: fx = 0 y fy = 0

6 Ejemplo 1: Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función Q(x; y) = 1200x + 500y + x2y - x3 - y2 unidades, donde x es el número de trabajadores calificados e y el número de trabajadores no calificados empleados en la planta. En la actualidad la fuerza laboral consta de 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Estime el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de 1 trabajador calificado, si el número de trabajadores no calificados permanece invariable.

7 Ejemplo 2: Un fabricante estima que la producción anual de cierta fábrica está dada por unidades, donde K es el gasto de capital en miles de dólares y L es el tamaño de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. Q(K, L) = 30K0.3L0.7 a) Halle la productividad marginal de capital QK y la productividad marginal de mano de obra QL cuando el gasto de capital es $ y el nivel de mano de obra es 830 horas-trabajador. b) Si los costos de los factores capital y mano de obra son los mismos, ¿qué factor conviene aumentar su empleo en una unidad?

8 Ley de demanda Suponga que se demandan D1(p1; p2) unidades del primer artículo y D2(p1; p2) unidades del segundo cuando los precios unitarios de los artículos son p1 y p2, respectivamente. Es razonable esperar que la demanda disminuya cuando el precio aumenta, entonces: (Observe que p2 permanece constante) (Observe que p1 permanece constante)

9 Artículos Sustitutos Se dice que dos artículos son artículos sustitutos si un aumento en la demanda de uno de ellos causa un decremento en la demanda del otro. La demanda de cada artículo aumenta respecto al precio del otro, es decir: Artículos sustitutos o competitivos: como la mantequilla y la margarina.

10 Artículos Complementarios
Se dice que dos artículos son complementarios si un decremento en la demanda de uno de ellos causa un decremento en la demanda del otro. La demanda de uno se reduce respecto al precio del otro, es decir: Ejemplo: El boleto de auto bus y la gasolina.

11 Ejemplo 4: Suponga que la función demanda de harina en cierta comunidad está dada por: mientras que la demanda correspondiente de pan está dada por: donde p1 es el precio en dólares de una libra de harina y p2 es el precio de una barra de pan. Determine si la harina y el pan son artículos sustitutos, complementarios o ninguno de los dos.