Clase 1.1 Repaso de funciones.

Explora saberes previos. Asocia, recuerda, codifica. Habilidades Explora saberes previos. Asocia, recuerda, codifica. Describe el concepto de función, dominio, rango y gráfica de funciones definidas por tramos.

Definición y notaciones Definición de función: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Notaciones: x: variable independiente. y=f(x): variable dependiente. A=Dom (f): dominio de la función f. {f(x): x Dom (f)}=Rang (f): rango de la función f.

Ejemplo: ¿Cuáles son el dominio y el rango de f ? -2 1 4 7 X Y y= f(x) Solución: Dom (f) = [0; 7] Rang (f) = [-2; 4]

Rang (f) = Rang (g) = [0; > Ejemplo Ejemplo: Haga una gráfica y encuentre el dominio y el rango de cada función. a) b) Solución: a) b) Dom (f) = Dom (g) = Rang (f) = Rang (g) = [0; >

Ejemplo: encuentre el dominio de cada función. a) b)

Prueba de la recta vertical Una curva en el plano XY es la gráfica de una función de x sí y solo sí ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez. Sí son funciones No es función

Funciones definidas por secciones Ejemplo: una función f se define por: Trace la gráfica. Solución:

Ejemplo Ejemplo: encuentre la regla de correspondencia para la función f graficada a continuación:

Definición de función par: Simetría Definición de función par: f es una función par, si f (-x) = f (x) para todo x Dom (f). Su gráfica es simétrica con respecto al eje Y. Definición de función impar: f es una función impar, si f (-x) = - f (x) para todo x Dom (f). Su gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

Ejemplo Ejemplo: determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna de las dos: a) b) c)

Funciones crecientes y decrecientes Definición de función creciente: Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I, si f(x1)<f(x2) siempre que x1<x2 en I. X Y y= f(x) x1 x2 I

Funciones crecientes y decrecientes Definición de función decreciente: Se dice que una función f es decreciente sobre un intervalo I, si f(x1)>f(x2) siempre que x1<x2 en I. X Y y= f(x) x1 x2 I

¿es decreciente o creciente en algún intervalo [-a; a] , a>0? Ejemplo Ejemplo: la función es decreciente en el intervalo <- ; 0] y creciente en el intervalo [0; >. ¿es decreciente o creciente en algún intervalo [-a; a] , a>0?

Definición de polinomio: Polinomios Definición de polinomio: Un polinomio es una función P tal que P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 , n entero no negativo y a0, a1, … , an son constantes llamadas coeficientes del polinomio. Si an 0, entonces P es de grado n. Dom (P) = . Polinomios más comunes: Función constante: P(x) = a, cuya gráfica es una recta horizontal. Función lineal: P(x) = ax + b, a 0 cuyas gráficas son rectas. Función cuadrática: P(x) = ax2 + bx + c, a 0 cuyas gráficas son parábolas. Función cúbica: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 0.

Definición de función potencia: Funciones potencia Definición de función potencia: Una función potencia es una función f tal que f(x) = xa, a constante.

Caso a = n, n entero positivo: f(x) = xn, n = 1, 2, 3, 4, … Funciones potencia Caso a = n, n entero positivo: f(x) = xn, n = 1, 2, 3, 4, …

Caso a = -n, n entero positivo: f(x) = x-n, n = 1, 2, … Funciones potencia Caso a = -n, n entero positivo: f(x) = x-n, n = 1, 2, …

Caso a = 1/n, n entero positivo: f(x) = x1/n, n = 2, 3, … Funciones potencia Caso a = 1/n, n entero positivo: f(x) = x1/n, n = 2, 3, …

Definición de función racional: Funciones racionales Definición de función racional: Una función racional es una función f que es la razón de dos polinomios: en donde P y Q son polinomios. Dom (f) = .

Ejemplo Ejemplo: ¿cuál es el dominio de f?

Funciones trigonométricas Función seno: Función coseno:

Funciones trigonométricas Función tangente:

Definición de función exponencial: Funciones exponenciales Definición de función exponencial: Una función exponencial es una función f tal que f(x)=ax, a>0.

Definición de función logarítmica: Funciones logarítmicas Definición de función logarítmica: Una función logarítmica es una función f tal que f(x)=logax, a>0, sí y solo si es la inversa de la función exponencial ax.

Desplazamientos horizontales y verticales (c>0): Nuevas funciones a partir de otras conocidas Desplazamientos horizontales y verticales (c>0):

Estiramientos y compresiones verticales y horizontales (c>1): Nuevas funciones a partir de otras conocidas Estiramientos y compresiones verticales y horizontales (c>1):

Nuevas funciones a partir de otras conocidas Reflexiones:

Valor absoluto de una función: Nuevas funciones a partir de otras conocidas Valor absoluto de una función:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), Dom (f + g) = A B Combinaciones de funciones Álgebra de funciones: Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones f + g, f - g, f . g, f / g y f o g se definen como sigue: (f + g)(x) = f(x) + g(x), Dom (f + g) = A B (f - g)(x) = f(x) - g(x), Dom (f - g) = A B (f . g)(x) = f(x) . g(x), Dom (f . g) = A B (f / g)(x) = f(x) / g(x), Dom (f / g) = A B – {x: g(x)=0} (f o g)(x) = f(g(x)), Dom (f o g) = {x Dom (g): g(x) Dom (f)}

“Cálculo de una variable” Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Secciones 1.1, 1.2, 1.3 Ejercicios 1.1 pág 22: 1, 2, 5-8, 19, 21-46, 57-64. Ejercicios 1.2 pág 35: 1-7. Ejercicios 1.3 pág 46: 1-24, 27-55.