CLARITA NESSIM MAPA CONCEPTUAL FUNCIONES MATEMATICAS.

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1 CLARITA NESSIM MAPA CONCEPTUAL FUNCIONES MATEMATICAS

2 FUNCIONES Generalidades Tipos Clasificación

3 CLASIFICACION DE FUNCIONES
Inyectiva Bijectiva Sobrejectiva Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es inyectiva y la función es sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función biyectiva.

4 CLASIFICACION DE FUNCIONES
Creciente Decreciente Par Impar Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, ( 𝑥 1 , f ( 𝑥 1 )) y ( 𝑥 2 , f ( 𝑥 2 )) con 𝑥 1 < 𝑥 2 se tiene que f ( 𝑥 1 ) > f ( 𝑥 2 ). Cambia la relación de < a >. Siempre que de 𝑥 1 < 𝑥 2 se deduzca f ( 𝑥 1 ) > f ( 𝑥 2 ), se dice que la función es decreciente. La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >. Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera, se verifica que: f ( 𝑥 1 ) < f ( 𝑥 2 ). Se dice que una función es creciente si de 𝑥 1 < 𝑥 2 se deduce que f ( 𝑥 1 ) < f ( 𝑥 2 ). Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, ( 𝑥 1 , f( 𝑥 1 )) y ( 𝑥 2 , f( 𝑥 2 )) con 𝑥 1 < 𝑥 2 se tiene que f( 𝑥 1 ) < f( 𝑥 2 ). Prevalece la relación <. si f(x) = f (-x). si f(x) = -f (-x). Ejemplo: La función 𝑦= 𝑥 2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. La función 𝑦= 𝑥 2 es par ya que f (-x) = (−𝑥) 2 = 𝑥 2 Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

5 GENERALIDADES Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; llamados conjunto de llegada y conjunto se salida, en la función el conjunto de salida y el dominio son el mismo, el dominio y el rango son conjuntos. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del rango. Se dice que f: A  B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado rango B)  El intercepto en el eje y se halla reemplazando a x por 0, y el intercepto en el eje x se halla igualando la función a 0 y solucionando la ecuación resultante. Las variables dependientes como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. La variable independiente no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. Llamamos gráfica de una función real de variable real de A en B al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos tienen como coordenadas (x, y) donde x ∈ A y y ∈ B. El dominio de una función son todos los valores que toma el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado rango, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje x, y que nos generan una asociación en el eje y. El otro conjunto llamado rango, es la gama de valores que toma la función; en el caso del plano son todos los valores que toma la función o valores en el eje y. No estamos en presencia de una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

6 TIPOS DE FUNCIONES Polinómica Racional Logarítmica Exponencial Valor absoluto Por partes Trigonométrica Grado impar Grado par Grado cero Lineal Cúbica Cuadrática Constante Afín Lineal Idéntica

7 FUNCIÓN POLINÓMICA Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones: Elementos Dominio= Conjunto de Salida= Reales Conjunto de llegada=Reales Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x) que corresponde a un polinomio obtenido como la suma de los polinomios representativos de f (x) y g (x). Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x) determinada por el polinomio resultante de multiplicar todos los coeficientes de f (x) por l. Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x), cuyo polinomio representativo resulta del producto de los polinomios que definen f (x) y g (x).

8 En la función cuadrática c indica el punto de corte con y.
Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y= ax2+bx+c La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un eje de simetría, se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado. En la función cuadrática c indica el punto de corte con y. Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación: El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta infinito. Ejemplo: y= 2x2+5x+4 Elementos Punto de corte con y = 4 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango: [ −5 4 , infinito) X= Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo relativo; o puede ser vertical abierta hacia abajo, con un máximo relativo. Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más bajos donde llega la parábola, se usa la ecuación:

9 FUNCIÓN CONSTANTE Ejemplo: y = 2 Elementos Punto de corte con y = 2
Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = {a} Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = a, donde a pertenece a los números reales. No depende de ninguna variable.

10 FUNCIÓN LINEAL m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y se halla mediante la ecuación: y - x son dos variables Dominio= Conjunto de Salida= Reales Rango= Reales (con excepción a la función constante). Conjunto de llegada = Reales. En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función. Si m > o: la función es creciente Si m < 0: la función es decreciente Si m = 0: la función es constante

11 FUNCIÓN LINEAL Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx Ejemplo: y = 2x Elementos Punto de corte con x: 0 Punto de corte con y: 0 Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Dominio= Reales Rango= Reales Pendiente = 2

12 FUNCIÓN IDÉNTICA Ejemplo: y = x
Elementos Punto de corte con x = 0 Punto de corte con y = 0 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango =Reales Pendiente = 1 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = x La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente. A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas .

13 FUNCIÓN AFÍN Ejemplo: y = 2x+3 Elementos
Punto de corte con x: 3 2 Punto de corte con y: 3 Conjunto de salida: Reales Conjunto de llegada: Reales Dominio: Reales Rango: Reales Pendiente: 2 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical.

14 Cuando m>0, n>0 la gráfica es

15 Función cúbica Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2 Elementos Punto de corte con x = -1.5 Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = Reales F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito) Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: