Proyecto de Matemáticas: Funciones Presentado por: Jonathan Guberek Daniel Croitoru Mark Guberek Presentado a: Patricia Cáceres COLEGIO COLOMBO HEBREO.

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1 Proyecto de Matemáticas: Funciones Presentado por: Jonathan Guberek Daniel Croitoru Mark Guberek Presentado a: Patricia Cáceres COLEGIO COLOMBO HEBREO AREA DE MATEMATICA Bogota D.C Mayo 2010

2 GENERALIDADES Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. No es una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica, numérica y verbal. Una imagen es el conjunto de elementos y para los cuales existe un elemento x tal que y=f(x).

3 Punto de corte con Y Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0. Punto de corte con X Para obtenerlo se iguala la función a 0. Soluciono la ecuación hasta obtener el valor de x. Rango: Conjunto formado por las imágenes. Dominio : Es el conjunto formado por las pre imágenes que debe ser igual al conjunto de salida.

4 Función Inyectiva En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o más elementos con la misma imagen.

5 Función Sobreyectiva Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de Y es la imagen de mínimo un elemento de X.

6 Función Biyectiva Función dada cuando, se cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva. Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva.

7 Función Par Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que para todo x que pertenece al dominio. f(x)=f(-X) Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c. Un ejemplo de esta sería: f(x) = x 4 + 2

8 f(x) = x 4 + 2 corte con y 2 mínimo relativo (0,2) eje de simetría x=0 dominio=Reales rango= /2,00\ conjunto salida= Reales conjunto llegada= Reales

9 Función Impar Función en la que todo x perteneciente al dominio Podría ser una Función cúbica o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c. Un ejemplo de esta sería: f(x) = x 3

10 f(x) = x 3 dominio= Reales rango=Reales conjunto salida=Reales conjunto llegada=Reales corte con x= 0 corte con y=0

11 Función Polinómica Generalidades Según su grado se pueden clasificar como: GradoNombreExpresión 0función constantey = a 1función linealy = ax + b (Binomio, 1er Grado) 2función cuadráticay = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado) 3función cúbica Dominio= Conjunto de Salida= R Conjunto de llegada=R

12 Clases de funciones. Valor Absoluto Exponencial Logarítmica Racional Polinómica Función a Trozos Función trigonométrica

13 Función Cuadrática. Función Cubica. Función de Grado par. Función de Grado impar. Función lineal. Función Polinomica. Constante. MAPA CLASES FUNCIONES

14 Funciones Lineales Generalidades Afín Lineal Idéntica Mapa lineales MAPA POLINÓMICAS

15 Función lineal Generalidades Y= variable dependiente X= variable independiente M=pendiente (grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal) B= punto de corte con el eje y. Punto de corte con x Dominio=reales Conjunto de Salida= Reales Rango=Reales(con excepción a la función constante) Conjunto de llegada= Reales

16 Si, m > 0 la funci ó n es creciente. Si m < 0 la funci ó n es decreciente. Si m=0 la funci ó n es constante (recta horizontal). Ecuación para hallar la pendiente: Mapa lineales

17 Función lineal Afín Es una función cuya ecuaci ó n matem á tica viene dada por: Y=mx+b Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y, y hace el desplazamiento vertical. El punto de corte con y es distinto a 0

18 Y=5x+5 Dominio: Reales Rango: Reales corte con x= -1 Conjunto Salida: Reales corte con y= 5 Conjunto llegada: Reales Pendiente=5 Mapa lineales

19 Función lineal Es una funci ó n cuya ecuaci ó n matem á tica es: Y=mx Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical.

20 Y=5x Dominio=Reales Conjunto Salida= Reales Rango= Reales Conjunto Llegada= Reales Corte con x= 0 Corte con y=0 Mapa lineales

21 Función lineal idéntica Es una función expresada con la fórmula: Y=x Donde y adquiere el mismo valor que x. La pendiente es igual a 1.

22 Dominio=Reales Rango=Reales Conjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=Reales Punto de corte con Y=0 Punto de corte con X=0 Mapa lineales

23 Función lineal constante Y=a Siendo a cualquier número. No tiene una pendiente por lo que su rango siempre va a ser a. Su corte con y es igual al a.

24 Y=4 Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4 Rango={4} Conjunto Llegada=Reales MAPA POLINÓMICAS

25 Función Grado Par Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es par Si todos los terminos son de grado par, la funcion es simetrica con respecto al eje X Se rigen según la ecuación:

26 Corte con y =2 No tiene corte con x Vértice (0,2) Dominio= Reales Rango=(2,00) Conjunto salida=Reales Cll=Reales MAPA POLINÓMICAS

27 Función Grado Impar Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es impar. Se rigen según la ecuación:

28 Dominio =conjunto salida=Reales rango =conjunto llegada=Reales corte en x≈2 corte con y=3 Es creciente en(-00,3)u(2.9,00) es decreciente en(3,2.9) MAPA POLINÓMICAS

29 Función Polinómica cuadrática Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente. Donde a no se puede ser igual a 0

30 Su representación gráfica, representaría una parábola vertical Siendo a negativo, estaría hacia abajo. Siendo a positivo, estaría hacia arriba. Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0 Corte con el eje X, al igualar la función con 0. La ecuación se soluciona por factorización o por fórmula general. El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo del signo de a. Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo relativo

31 Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo. Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo relativo hasta infinito o desde el máximo relativo hasta infinito negativo.

32 Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales corte con x=-1 Conjunto Llegada=Reales mínimo relativo x=-1 Dominio=Reales Creciente en=(-1, ∞) Reales=Reales positivos Decreciente en=(- ∞, -1) MAPA POLINÓMICAS

33 Función Polinómica cúbica Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación: Y=ax 3 +bx 2 +cx+d Donde a,b,c,d son números reales Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene un maximo elemento elevado a la tres o al cubo

34 Corte con x= -1 Corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=Reales D=Reales R=Reales positivos MAPA POLINÓMICAS

35 Función Valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante.

36 Gráfica Decreciente si a<1 Creciente si a>1 El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Su dominio, CS y CLL son Reales. Su rango depende de hacia donde se desprenda, puede ser de – infinito al máximo relativo o del mínimo relativo a infinito.

37 Y=|x| Punto corte con x= 0 Punto corte con y= 0 Dominio=Conjunto salida=Conjunto llegada= Reales Rango= (0, ∞) Decreciente en= (-∞,0) Creciente en= (0, ∞) MAPA CLASES FUNCIONES

38 Función racional La función racional es una función matemática expresada de la forma Donde p, q son polinomios, x es una variable desconocida Q≠0 Su dominio consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0.

39 Todas las funciones racionales, tienen una asíntota vertical y horizontal, que es una línea a la que la gráfica de la función se aproxima cada vez más, pero que nunca toca. Todas sus funciones racionales son de clase infinita, es decir, que su gráfica, al igual que sus soluciones, no tienen final.

40 Para obtener las raíces se factoriza tanto el denominador como el numerador y se igualan cada uno de los factores a 0. Las raíces del numerador serían cortes con x mientras los del denominador cortes con y. Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. Para determinar cuando la función es en Y mayor o menor que 0, se realiza el análisis intervalo por intervalo por el proceso del cementerio.

41 MAPA CLASES FUNCIONES Corte con x= 3 Corte con y= 3 Asintota en y=1 Dominio=conjunto salida=reales Rango= reales-(1) Conjunto llegada=reales creciente

42 Función exponencial La función exponencial es del tipo: Y= a x Sea a un número real positivo. Y= a x se llamaría función exponencial de base a y exponente x. a no puede ser igual a 0, ya que 0 elevado a cualquier número sería igual a 0 ni a 1. ya que siendo 1, sería constante. La función exponencial natural es la que tiene como base a e, que es igual a 2.718 Cuando se desplaza verticalmente se le sumaría un valor c, quedando así:

43 Dominio=conjunto salida=reales conjunto llegada=reales rango=(1,00) asíntota x=1 Es creciente corte en y=2 Esta desplazada verticalmente 2 hacia arriba. MAPA CLASES FUNCIONES

44 Función Logarítmica Una función logarítmica la que se expresa como f (x) == log a x Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. También cumpliría que Se llama logaritmo común al logaritmo en base 10. Se llama logaritmo natural al que tiene como base a e=2.781

45 Propiedades logarítmicas: 1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero. 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números. 3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números. Para cambiar de base se utiliza la fórmula

46 Creciente dominio=cs=reales positivos cll=reales rango=reales asintota x=0 corte con x≈0.3 MAPA CLASES FUNCIONES

47 Función a Trozos En matemáticas, una función definida a trozos es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos distintos de su dominio o subdominios. Su definición varía según los intervalos que se tomen en cuenta. Se dividen en función mantisa y función signo.

48 Función Mantisa La función mantisa consiste en la parte decimal de un número. Su fórmula es: mant (x) = x - [x] Es decir, al número se le resta su parte entera, así la mantisa de los siguientes números serán: mant(20,918) = 0,918 mant(27,465) = 0,465 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, 1) Conjunto de llegada= IR

49 Función signo Función que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x). Su dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}. f(x)= Si x<1 Si x=1 Si x>1 MAPA CLASES FUNCIONES Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= {-1; 0; 1) Conjunto de llegada= IR

50 Función trigonométrica Son el tipo de funciones que guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos. Se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Existen seis tipos de funciones trigonométricas: La función del seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. La función del coseno se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: La función de la tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

51 La función de la cotangente se define como el inverso multiplicativo de la tangente. La función secante se define como el inverso multiplicativo del coseno La función cosecante se define como el inverso multiplicativo del seno:

52 Graficas de todas las funciones trigonométricas MAPA CLASES FUNCIONES

53 Seno Dominio=Conjunto llegada=Reales Conjunto salida= Reales Rango= [-1,1] Pto corte con y=0 Pto corte con x=πn

54 coseno Dominio=Conjunto salida=Reales Conjunto llegada= Reales Rango= [-1,1] Pto corte con Y=1 Pto corte con X=

55 tangente Rango=Conjunto llegada=Reales Conjunto salida= Reales Pto corte con y=0 Pto corte con x= πn Dominio

56 cotangente Dominio= Conjunto salida= Conjunto llegada=Reales R= Reales Pto corte con y=No hay Pto corte con x=

57 cosecante Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada= IR Rango= (IR – (-1,1)) Asíntotas en x=n π Punto de corte con x no tiene Punto de corte con y no tiene

58 secante Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada= IR Rango= (IR – (-1,1)) Asíntotas en x= π/2(2n-1) Punto de corte con x no tiene Punto de corte con y = 1

59 Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_line al http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_line al http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matemati cas/05/definicion.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matemati cas/05/definicion.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_con stante http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_con stante http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones http://cnx.org/content/m12960/latest/#eq_rf http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html

60 Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A 1tica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A 1tica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva http://www.amschool.edu.sv/paes/f8.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3 %A9trica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3 %A9trica http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%A Da) http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%A Da) http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3 %A9trica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3 %A9trica