Proyecto de Matemáticas: Funciones Presentado por: Jonathan Guberek Daniel Croitoru Mark Guberek Presentado a: Patricia Caceres COLEGIO COLOMBO HEBREO.

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1 Proyecto de Matemáticas: Funciones Presentado por: Jonathan Guberek Daniel Croitoru Mark Guberek Presentado a: Patricia Caceres COLEGIO COLOMBO HEBREO AREA DE MATEMATICA Bogota D.C Mayo 2010

2 GENERALIDADES Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. No es una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica, numérica y verbal.

3 Punto de corte con Y Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0. Punto de corte con X Para hallarlo se reemplaza Y por 0 en la ecuación. Dominio El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. D = {x / f (x)} Rango Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

4 Función Inyectiva En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o mas elementos con la misma imágen.

5 Función Sobreyectiva Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de Y es la imagen de mínimo un elemento de X.

6 Función Biyectiva Función dada cuando, se cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva. Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva.

7 Función Par Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que f(x)=f(-X) Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c. Un ejemplo de esta sería: f(x) = x 4 + 2

8 f(x) = x 4 + 2 corte con y 2 minimo relativo (0,2) eje de simetria x=0 d=reales r= (2,00= cs= reales cll reales

9 Función Impar Función en la que todo x perteneciente al dominio Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c. Un ejemplo de esta sería: f(x) = x 3

10 f(x) = x 3 d= reales r=reales cs=reales cll=reales corte con x= 0 corte con y=0

11 Clases de funciones. Valor Absoluto Exponencial Logarítmica Racional Polinómica

12 Función Cuadrática. Función Cubica. Función de Grado par. Función de Grado impar. Función lineal. Función Polinomica. Constante. MAPA CLASES FUNCIONES

13 Funciones Lineales Generalidades Afín Lineal Idéntica Mapa lineales MAPA POLINÓMICAS

14 Función lineal Generalidades Y= variable dependiente X= variable independiente M=pendiente (grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal) B= punto de corte con el eje y. Punto de corte con x Dominio=reales Conjunto de Salida= Reales Rango=Reales(con excepción a la función constante) Conjunto de llegada= Reales

15 Si, m > 0 la funci ó n es creciente. Si m < 0 la funci ó n es decreciente. Si m=0 la funci ó n es constante (recta horizontal). Ecuación para hallar la pendiente: Mapa lineales

16 Función lineal Afín Es una función cuya ecuaci ó n matem á tica viene dada por: Y=mx+b Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y, y hace el desplazamiento vertical. El punto de corte con y es distinto a 0

17 Y=5x+5 Dominio: Reales Rango: Reales corte con x= -1 Conjunto Salida: Reales corte con y= 5 Conjunto llegada: Reales Pendiente=5 Mapa lineales

18 Función lineal Es una funci ó n cuya ecuaci ó n matem á tica es: Y=mx Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical.

19 Y=5x Dominio=Reales Conjunto Salida= Reales Rango= Reales Conjunto Llegada= Reales Corte con x= 0 Corte con y=0 Mapa lineales

20 Función lineal idéntica Es una función expresada con la fórmula: Y=x Donde y adquiere el mismo valor que x. La pendiente es igual a 1.

21 Dominio=Reales Rango=Reales CS=Reales CLL=Reales Mapa lineales

22 Función lineal constante Y=a Siendo a cualquier número. No tiene una pendiente por lo que su rango siempre va a ser a. Su corte con y es igual al a.

23 Y=4 Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4 Rango={4} Conjunto Llegada=Reales MAPA POLINÓMICAS

24 Función Polinómica Generalidades Según su grado se pueden clasificar como: GradoNombreExpresión 0función constantey = a 1función linealy = ax + b (Binomio, 1er Grado) 2función cuadráticay = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado) 3función cúbica Dominio= Conjunto de Salida= R Conjunto de llegada=R

25 Función Polinómica cuadrática Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente. Donde a no se puede ser igual a 0

26 Su representación gráfica, representaría una parábola vertical Siendo a negativo, estaría hacia abajo. Siendo a positivo, estaría hacia arriba. Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0 Corte con el eje X, al reemplazar la f(x) o Y por 0. El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo del signo de a. Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo relativo

27 Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo. Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo o máximo relativo hasta infinito

28 Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Cs=reales corte con x=-1 Cll=reales mínimo relativo x=-1 D=reales Creciente en=(-1,infinito) R=reales positivos Decreciente en=(- infinito, -1) MAPA POLINÓMICAS

29 Función Polinómica cúbica Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación: Y=ax 3 +bx 2 +cx+d Donde a,b,c,d son números reales Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene un maximo elemento elevado a la tres o al cubo

30 Corte con x= -1 Corte con y= 1 Cll= reales Cs= reales D= reales R=reales MAPA POLINÓMICAS

31 Función Grado Par Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es par Si todos los terminos son de grado par, la funcion es simetrica con respecto al eje X Se rigen según la ecuación:

32 Corte con y =2 No tiene corte con x Vértice (0,2) Dominio= reales Rango=(2,00) Cs=reales Cll=reales MAPA POLINÓMICAS

33 Función Grado Impar Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es impar. Se rigen según la ecuación:

34 Dominio =cs=reales rango =cll=reales corte en x≈2 corte con y=3 es creciente en(-00,3)u(2.9,00) es decreciente en(3,2.9) MAPA POLINÓMICAS

35 Función Valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante.

36 Gráfica Decreciente si a<1 Creciente si a>1 El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Su dominio, CS y CLL son Reales. Su rango depende de hacia donde se desprenda, puede ser de – infinito al máximo relativo o del mínimo relativo a infinito.

37 Y=|x| Punto corte con x= 0 Punto corte con y= 0 Dominio=Cs=Cll= Reales Rango= (infinito, 0) Decreciente en= (-infinito,0) Creciente en= (0, infinito) MAPA CLASES FUNCIONES

38 Función racional La función racional es una función matemática expresada de la forma Donde p, q son polinomios, x es una variable desconocida Q (x)≠0 Su dominio consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0.

39 Todas las funciones racionales, tienen una asíntota vertical y horizontal, es decir, tienen excepciones, estas excepciones son números en los ejes "x" e "y" que no se pueden usar para reemplazar la variable "x" en la función racional. Todas sus funciones racionales es de clase infinita, es decir, que su grafica, al igual que sus soluciones, no tienen final.

40 Para obtener las raíces se factoriza tanto el denominador como el numerador y se igualan cada uno de los factores a 0. Las raíces del numerador serían cortes con x mientras los del denominador cortes con y. Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. Para determinar cuando es mayor o menor que 0, se realiza el proceso del cementerio.

41 MAPA CLASES FUNCIONES f(x) =( x – 1) / (x – 3) Pto corte con x=1 Pto corte con y=1

42 Función exponencial La función exponencial es del tipo: Y= a x Sea a un número real positivo. Y= a x se llamaría función exponencial de base a y exponente x. a no puede ser ni menor que 0 ni igual a 1. ya que siendo 1, sería constante. La función exponencial natural es la que tiene como base a e, que es igual a 2.2.

43 Dominio=cs=reales cll=reales rango=(1,00) asintota x=1 creciente corte en y=2 MAPA CLASES FUNCIONES

44 Función Logarítmica Una función logarítmica la que se expresa como f (x) == log a x Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. También cumpliría que Se llama logaritmo común al logaritmo en base 10. Se llama logaritmo natural al que tiene como base a e=2.2

45 Propiedades logarítmicas: 1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero. 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números. 3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números. Para cambiar de base se utiliza la fórmula

46 Creciente dominio=cs=reales positivos cll=reales rango=reales asintota x=0 corte con x≈0.3 MAPA CLASES FUNCIONES

47 Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_line al http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_line al http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matemati cas/05/definicion.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matemati cas/05/definicion.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_con stante http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_con stante http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones http://cnx.org/content/m12960/latest/#eq_rf http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html

48 Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_c uadr%C3%A1tica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_c uadr%C3%A1tica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_i nyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_i nyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_s obreyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_s obreyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_ biyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_ biyectiva http://www.amschool.edu.sv/paes/f8.htm