Derivadas de una función en un punto.
Habilidades Describe el concepto de derivada. Interpreta geométricamente la derivada. Define la derivada de una función en un punto. Interpreta la derivada como una razón de cambio.
La Pendiente de una Curva ¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?
El problema de la recta tangente x y Q x y = f(x) a P Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y Q y = f(x) P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y Q y = f(x) P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y y = f(x) P a x Pendiente de la recta tangente:
La recta tangente Definición: La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente: siempre que exista este límite. Haciendo h=x-a, luego h tiende hacia 0, cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente de la recta tangente también se puede calcular como: Observación:
El problema de la velocidad instantánea s(a) t = a s(a + h) t = a + h s o Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea s(a) Velocidad instantánea en t = a:
Ejemplo Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de la torre de Eiffel, a 300 m arriba del suelo. a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo?
La velocidad instantánea Definición: La velocidad instantánea v(a) en el instante t = a se define como el límite de las velocidades medias: siempre que exista este límite.
Ejemplo La posición de una partícula se da con la ecuación del movimiento , donde t se mide en segundos y s en metros. Encuentre la velocidad y la rapidez después de 2 segundos. Nota: Desplazamiento de una partícula = Posición Final- Posición Inicial. Recorrido = Distancia recorrida. Velocidad = Rapidez =
Definición: La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como: Pag. 156 si el límite existe. 1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es derivable en a. 2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no es derivable en a. 3. La derivada de una función es un límite. 4. Para hallar el límite se requiere que la función sea continua en el punto. Observación:
Derivadas laterales Derivada por la derecha de a Pag. 168 Derivada por la derecha de a Derivada por la izquierda de a y y = f(x) f ’(a) existe si y solo si Teorema: a x
Cálculo de derivadas por la definición Ejemplo : , obtenga f´(1) Si Ejemplo : Considere la función definida por tramos ¿Existe f´(1)?
Interpretaciones de la derivada Pag. 157 Geométrica: Pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa a. Mecánica: Velocidad de una partícula cuya posición viene dada por y = s(t) en el instante t = a. General: Razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x cuando x = a.
Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 2.7. Ejercicios Pág. 154: 2-14, 17-20. Sección 2.8. Ejercicios Pág. 161: 1-26, 33, 34. ORIENTAR TAREA 3