Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela Ingeniería en Electrónica Curso: Métodos Numéricos Método de Bairstow Profesor: Ing. Marvin Hernández C II Semestre 2008
Agenda INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DEL MÉTODO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS
INTRODUCCIÓN El método de Bairstow es utilizado para encontrar las n-raíces de un polinomio. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado con los métodos de Müller y Newton-Raphson. Es importante que recuerde la forma factorizada de un polinomio:
Método de Bairstow El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado con los métodos de Müller y Newton-Raphson
Se basa en… Por lo general, en esta aproximación el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor (que no sea raíz). Por ejemplo, el polinomio general
Se divide por un factor x-t Y se tiene un polinomio de menor grado fn-1(x) = b1+b2x+b3x2+…….+bnxn-1 Con residuo R=b0 Los coeficientes se calculan por una relación de recurrencia bn=an; bi=ai+bi+1t para i=n-1 a 0 Si t es una raíz, b0 será cero Para raíces complejas se divide el polinomio entre un factor cuadrático x2-rx-s Para el polinomio original la división dará fn-2(x)=b2+b3x+…+bn-1xn-3+bnxn-2 ; R=b1(x-r)+b0
Como en la división sintética normal la relación de recurrencia mostrada abajo se utiliza para la división entre el factor cuadrático
Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:
Si x2-rx-s es un divisor exacto: Las raíces complejas se determinan con la fórmula cuadrática. Así, lo que se hace es determinar r y s para que el factor sea un divisor exacto del polinomio (residuo cero). Se busca que b0 y b1 tiendan a cero. Éstos son funciones de r y s y se usa expansión en serie de Taylor. b1(r+Δr, s+Δs)=b1+(∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs b0(r+Δr, s+Δs)=b0+(∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs que se evalúan en r y s La ecuación anterior se iguala a cero con lo que: (∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs = -b1 y (∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs = -b0
Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:
Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:
Para mejorar los valores iniciales de r y s Para mejorar los valores iniciales de r y s. en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en:
Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como:
Ejemplos: Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale Tenemos que f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2 Obtenemos como solución tres valores de raíces x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278
Tabla de Valores ITERACIÓN r s Nuevo r Nuevo s Δr Δs 1 -1 1.085 -0.1128 0.887 2 2.49 -0.67 0.402 -0.556 3 -0.876 2.426 -0.064 -0.206 4 2.43 -0.87 0.0076 0.0045
Obteniendo finalmente un acercamiento a los valores de raíces: x1= 1.999 x2= 0.4357 x3 = 3,278
Ejercicio 7.3(Chapra, Canale) Tenemos que f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25 Averiguando r y s después de 4 iteraciones se obtiene que: εa,r =55.23% εa,r =824.1 % x1=0.5 y x2=-1
Quedando como cociente el polinomio: f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5 Utilizando el mismo método después de cinco iteraciones: x3=1+0.499i x4=1-0.499i
Ahora el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz: x5= 2
Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale) b) Utilizando: para determinar los valores de b. Con
Reacomodando la ecuación:
Resolviendo el sistema: Obteniendo el y el : Resolviendo el sistema:
Asi podemos obtener el % de error
Aplicado a una segunda iteración: Aplicado a una tercera iteración:
Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs Iteración r Δr s Δs 1 1.0953 -0.9047 -2.0752 -1.5752 2 2.05 -0.179 -1.08 -0.042 3 2.103 -0.053 -1.096 -0.0165
Asi las raíces son: