Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela Ingeniería en Electrónica Curso: Métodos Numéricos Método de Bairstow Profesor: Ing. Marvin Hernández.

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1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela Ingeniería en Electrónica Curso: Métodos Numéricos Método de Bairstow Profesor: Ing. Marvin Hernández C II Semestre 2008

2 Agenda INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DEL MÉTODO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS

3 INTRODUCCION El método de Bairstow es utilizado para encontrar las n-raíces de un polinomio. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson. Es importante que recuerde la forma factorizada de un polinomio:

4 Método de Bairstow El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson

5 Se basa en… Por lo general en esta aproximación el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor. Por ejemplo, el polinomio general

6 Puede dividirse entre un factor para producir un segundo polinomio que dé un orden más bajo, con un residuo , donde los coeficientes son calculados por la relación de recurrencia.

7 Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:

8 Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:

9 Para mejorar los valores iniciales de r y s, en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en:

10 Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como:

11 Ejemplos: Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale Tenemos que
f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2 Obtenemos como solución tres valores de raíces x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278

12 Tabla de Valores

13 Obteniendo finalmente un acercamiento a los valores de raíces:
x1= 1.999 x2= x3 = 3,278

14 Ejercicio 7.3(Chapra, Canale) Tenemos que
f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25 Averiguando R y S después de 4 iteraciones se obtiene que: εa,r =55.23% εa,r =824.1 % x1=0.5 y x2=-1

15 Quedando como cociente el polinomio:
f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5 Utilizando el mismo método después de cinco iteraciones: x3= i x4= i

16 Ahora el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz: x5= 2

17 Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale)
b) Utilizando: para determinar los valores de b. Con

18 Reacomodando la ecuación:

19 Resolviendo el sistema:
Obteniendo el y el : Resolviendo el sistema:

20 Asi podemos obtener el % de error

21 Aplicado a una segunda iteración:
Aplicado a una tercera iteración:

22 Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs
Iteración r Δr s Δs 1 1.0953 2 2.05 -0.179 -1.08 -0.042 3 2.103 -0.053 -1.096

23 Asi las raíces son: