Teorema del Residuo y Teorema del Factor

Presentación del tema: "Teorema del Residuo y Teorema del Factor"— Transcripción de la presentación:

1 Teorema del Residuo y Teorema del Factor

2 Teorema del Residuo: El residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es P(c). Es decir el residuo se obtiene sustituyendo el valor de “c” en el polinomio.

3 Ejemplo: Determine el residuo de la división de P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x De acuerdo con el teorema del residuo: R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – = 3 Comprobando por división sintética: | | 3  Residuo

4 Teorema del Factor: Si el residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces x – c es un factor de P(x). Se busca el residuo, empleando el teorema del residuo o la división sintética, si su valor es 0, entonces el binomio x – c es un factor de P(x).

5 Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio
P(x) = 2x3 + x2 + 3x Buscamos el residuo: Por el teorema del residuo: R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = = 0 x + 1 es factor. Por división sintética: -1| |0  Residuo x + 1 es factor

6 Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2. Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1, x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación. Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0 x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida. Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones. Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.

7 Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es una raíz o solución.
Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x entre x + 1 1 | Escribimos: x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 ) | 0 | = 0 ( Dividendo = divisor x cociente + residuo ) entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya sea factorizando o por la fórmula cuadrática. En este caso factorizamos: ( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3. Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }