Índice -Propiedades…2Propiedades -Integrales iteradas…3Integrales iteradas -Teorema de Fubini…4Teorema de Fubini -Integral doble para hallar áreas (Diapositiva importante)…6Integral doble para hallar áreas (Diapositiva importante)… -Estrategias para resolver ejercicios de integral doble para el calculo de áreas…7Estrategias para resolver ejercicios de integral doble para el calculo de áreas -Ejercicios de integrales dobles para el calculo de áreas…8Ejercicios de integrales dobles para el calculo de áreas -Integral doble para hallar volúmenes…11Integral doble para hallar volúmenes -Estrategias para resolver ejercicios de integral doble para el calculo de volúmenes…12Estrategias para resolver ejercicios de integral doble para el calculo de volúmenes -Ejercicios de integrales dobles para el calculo de volúmenes…13Ejercicios de integrales dobles para el calculo de volúmenes -Integral doble en coordenadas polares…17Integral doble en coordenadas polares -Ejercicios de integrales dobles en coordenadas polares…18Ejercicios de integrales dobles en coordenadas polares Integrales dobles

Integral iterada dA=dx.dy *Dice que puede cambiar el orden en el que se resuelve una integral dentro de otra integral (doble integral), respetando siempre la restricción de cada variable.

*El diferencial de y siempre debe estar con su respectivo rango de y, lo mismo sucede con x

Integrales dobles para hallar áreas: (Con y despejada) (Con x despejada) *Diapositiva importante Cuando se despeja y, se crea una flecha mirando hacia arriba. La primera función que toque la flecha, será el la restricción menor, y la segunda función será la restricción mayor para el calculo de su integral iterada respecto a y Cuando se despeja x, se crea una flecha mirando hacia la derecha. La primera función que toque la flecha, será el rango menor, y la segunda función será el rango mayor para el calculo de su integral iterada respecto a x -f(x,y) es una función que te dan los problemas. -A veces se encontrará a f(x,y) como z Formas de resolver: Forma 1 Forma 2

Ver grafica en GeoGebra Hacer las flechas para ver cual es el rango menor y mayor. También para ver si conviene despejar x o y Declarar la variable dependiente e independiente. Después, ver sus rangos Resolver la integral doble

Forma convencional: Forma aprendida: Despejando y: Despejando x:

Primera forma: Se puede ver que la figura no es continua cuando se toma a x como la variable independiente, por lo que se le tiene que dividir en varias áreas que sí sean continuas, y hallar cada una de ellas para que sumándolas, nos de el área resultante. Entonces: Segunda forma: Se puede ver que la figura sí es continua respecto al eje y, por lo tanto, se puede hallar el área en un calculo directo de doble integral. Primero se busca entre que intervalos se encuentra y para después encontrarse los intervalos de x, que son las funciones, ubicándose en el rango inferior y superior según la flecha explicada en la diapositiva importante. *Como se puede apreciar, a veces es conveniente resolver la doble integral respecto a un eje en especifico.

Primero, se grafica:

dA=dx.dy Modo pollito:

Para evaluar una integral doble como volumen se realizan los siguientes pasos: Se realiza una grafica en GeoGebra 3D Se escoge en que plano va a trabajar. Plano xy, xz o yz. el análisis en el gráfico. Se tendrá que despejar funciones de ser necesario. “Trabajar en el plano” es como cuando se trabaja para el calculo del área con integral doble (la proyección genera un área). Se resuelve la integral. La primera integral iterada tendrá como limites dos funciones que dependan de las otras 2 variables (no necesariamente de las 2 al mismo tiempo), la segunda (la que se calcula después de la primera) tendrá como limite dos funciones que dependan de la variable faltante, y la ultima tendrá como limite 2 números. *Recomendación: ver como si fueran integrales triples. *Es recomendable trabajar como si fuese el calculo de un área

Ejemplo: Graficando: *Despejando

Se va a trabajar en el plano XY, por lo que despejando z: Queda: V=48

Sea: Calcular el volumen que forma con:Z=f(x,y)=x+2y Graficando la proyección con el plano XY: Hallando los puntos de intersección, para poder determinar los rangos: Entonces, el rango de x es desde -1 hasta +1 El rango de y es desde la primera función que toque la flecha, hasta la segunda función. (la flecha irá para arriba porque se eligió trabajar con la y despejada. *Desde ahí, solo resta calcular la integral doble. *Se podría haber resuelto con el despeje de la x

Primero, graficando en 3D: Analizando el área que se forma en XY: Analizando los limites para cada integral iterada: Finalmente:

Integrales dobles en coordenadas polares

Graficando: Hallar el volumen para la región limitada entre: Forma cartesiana: Reemplazando Forma polar: Grafica Proyección en el plano XY Finalmente: V= V= Finalmente: V= r=1

Graficando: Reemplazando a polar: Entonces: Finalmente:

r r r r Las líneas punteadas demuestran desde donde empieza, hasta donde termina el ángulo para un pétalo de flor. Entonces: Finalmente: *Las funciones no necesariamente se darán siempre en coordenadas cartesianas.