Ecuaciones de Variables Separables Prof. Ing. Juan Miguel Morales Ecuaciones Diferenciales

Iniciaremos nuestras técnicas de solución a ED con las ecuaciones más sencillas de resolver. Este tipo de ecuaciones son resueltas directamente mediante una o dos integraciones. Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables

Definición Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma: y´ = F(x, y) se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y) en la forma: F(x, y) = f(x) · g(y)

Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia: - Procedimiento: Variables Separables - Entrada: Una EDO en la forma y´ = F(x, y) - Salida: La solución de la ED. Paso I: Factorizar el segundo miembro Factorizar F(x,y)= f(x)·g(y), si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no continua.

Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables Paso II: Separar las variables Despejar para poner variables diferentes en lados diferentes:

Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables Paso III: Integrar Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos: o simplemente:

Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables Paso III: Integrar Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos: o simplemente:

Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables Paso IV: Despejar y Opcional Debido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma: y = Expresión en x En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma explícita, en caso contrario (cuando no fué posible despejar y) se dice que la solución está dada en forma implícita.

Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables Resuelve la ED: Primero revisamos si la ED es de variables separables: Separando las variables: Integrando tenemos:

La expresión representa una familia de soluciones: una solución para cada valor de la constante C. Si graficamos las funciones para diferentes valores de C tenemos: Ecuaciones Diferenciales de Variable Separables

Un problema con valores (condiciones) iniciales consiste de una ecuación diferencial y de un punto del plano x − y: Problema con condiciones iniciales El problema consiste en encontrar una función y = y(x) solución a la ecuación diferencial y que además cumpla y(xo) = yo (es decir, que al evaluar dicha función en x = xo el valor resultante sea yo). Generalmente este problema se resuelve primero encontrando la solución general (aparece C arbitraria) y posteriormente se sustituyen los datos del punto (xo, yo) para determinar el valor de C.

Problema con condiciones iniciales Resuelve el problema con condiciones iniciales:

Problema con condiciones iniciales Resuelve el problema con condiciones iniciales:

Problema con condiciones iniciales

Ejercicios (y 2 - 2) dx + (2x 2 - x - 3) dy = 0

Ejercicios (y 2 - 2) dx + (2x 2 - x - 3) dy = 0

Ejercicios (y 2 - 2) dx + (2x 2 - x - 3) dy = 0

BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA BASE: S. C. CHAPRA., Métodos Numéricos para ingenieros, Editorial McGraw Hill, Sexta edición, METODOS NUMERICOS APLICADOS A LA INGENIERIA, TERRENCE AKAI BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: R.L. BURDEN, y D. FAIRES Análisis numérico, Editorial Cengage Learning, Novena edición, México, C. GERALD y P.O. WHEATLEY., Análisis Numérico con aplicaciones, Editorial Pearson Educación, Sexta Edición, México, J. H. MATHEWS y K. D. FINK., Métodos numéricos con matlab, Editorial Prentice Hall, Tercera edición, Barcelona, 2000.