MÉTODOS NUMÉRICOS 2.4 Sistemas de ecuaciones no lineales Gustavo Rocha 2005-2

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y u(x, y) y* v(x, y) x* x

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES (2, 3)

MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Considera la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y).

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y u(x, y) v(x, y) x

MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Considera la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y). La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y).

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y u(x, y) y* v(x, y) x* x

MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Considera la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y). La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y). El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz. El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x. revisar

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y y1 revisar u(x, y) y3 y2 v(x, y) x2 x3 x1 x

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y y1 revisar u(x, y) y3 y2 v(x, y) x2 x3 x1 x

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y y1 revisar u(x, y) y3 y2 v(x, y) x2 x3 x1 x

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES iteración xi yi e(%) e*(%) 1 1.5 3.5 25.00   16.67 2 2.17944947 2.860505988 8.97 31.18 4.65 22.36 3 1.94053388 3.049550673 2.97 12.31 1.65 6.20 4 2.02045629 2.983404747 1.02 3.96 0.55 2.22 5 1.99302813 3.005704363 0.35 1.38 0.19 0.74 6 2.00238524 2.998054303 0.12 0.47 0.06 0.26 7 1.99918491 3.000665561 0.04 0.16 0.02 0.09 8 2.00027865 2.999772546 0.01 0.05 0.03 9 1.99990475 3.000077757 0.00 10 2.00003256 2.999973421 x = 2 y = 3

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Sin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solución. En las dos formulaciones siguientes el método diverge. x = (57 - y)/3y2 y = (10 - x2)/x iteración xi yi e(%) e*(%) 1 1.5 3.5 25.00   16.67 2 1.45578231 5.166666667 27.21 3.04 72.22 32.26 3 0.64724246 5.413376566 67.64 124.92 80.45 4.56 x = (10 - x2)/y y = 57 - 3xy2 iteración xi yi e(%) e*(%) 1 1.5 3.5 25.00   16.67 2 2.21428571 -24.375 10.71 32.26 912.50 114.36 3 -0.20910518 429.713648 110.46 1158.93 14223.79 105.67

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y u(x, y) v(x, y) x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y u(x, y) y1 v(x, y) x1 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y v(x1, y) u(x, y) u(x1, y) y1 v(x, y1) u(x, y1) v(x, y) x1 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1). Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y v(x1, y) u(x, y) u(x1, y) y1 v(x, y1) u(x, y1) v(x, y) x1 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1). Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1) El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y u(x, y) y2 y1 v(x, y) x1 x2 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1). Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1) El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos curvas.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y u(x, y) y2 y1 v(x, y) x1 x2 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales. Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz. Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Pero ui+1 = vi+1 = 0 : Que reescribiendo en el orden conveniente:

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Y cuya solución es: Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0 iteración xi yi ui vi ¶u/¶x ¶u/¶y ¶v/¶x ¶v/¶y Jacobiano 1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 36.75 32.5 156.125 2 2.03602882 2.8438751 -0.064374959 -4.756208497 6.915932746 2.036028823 24.26287675 35.74127004 197.7843034 3 1.99870061 3.002288563 -0.004519896 0.04957115 6.999689781 1.998700609 27.04120985 37.00405588 204.9696292 4 1.99999998 2.999999413 -1.28609E-06 -2.21399E-05 6.999999381 1.999999984 26.99998944 36.99999267 204.9999473 5 2.23821E-12 7 27 37 205 iteración ex(%) ex*(%) ey(%) ey*(%) 1 25   16.67 2 1.8 26.33 5.2 23.07 3 0.06 1.87 0.08 5.28 4 5 x = 2 y = 3

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y x