Descomposición en Fracciones simples. Funciones Racionales Descomposición en fracciones simples Integración de funciones racionales (descomponiendo en fracciones simples). Ejemplos Descomposición en fracciones simples

Descomposición en fracciones simples Funciones Racionales Definición Una función del tipo P/Q, siendo P y Q polinomios, es una función racional. Ejemplo El grado del denominador de la función de arriba es menor que el grado del numerador. Reescribimos la función racional de manera más sencilla dividiendo los polinomios. Reescribimos la función A la hora de integrar, es necesario siempre realizar si es posible la división de los polinomios. Integrar la parte polinómica es sencillo, y podemos reducir el problema de integración a integrar funciones racionales generales, en las que el denominador tiene mayor grado que el numerador. Descomposición en fracciones simples

Integración de Funciones Racionales (ejemplo) Con C constante de integración. Descomposición en fracciones simples

Descomposición en fracciones simples de la función integrando, para facilitar la integración La descomposición de la función (3x2+3x+2)/(x3+x2+x+1) es una Descomposición en fracciones simples. Definición Descomponer en fracciones simples es un método para expresar una función racional en suma de Funciones Racionales lo más sencillas posible. Generalmente, la Descomposición en fracciones simples es complicada y se presentan diferentes casos. Siempre comenzaremos factorizando el denominador. El tipo de descomposición en fracciones simples que realicemos dependerá de los factores del denominador. Explicaremos cada tipo en las siguientes diapositivas. Descomposición en fracciones simples

Descomposición en fracciones simples (2) La Descomposición en fracciones simples de una función racional R=P/Q, con grad(P) < grad(Q) depende de los factores del denominador Q. Como estamos factorizando polinomios con coeficientes reales, el denominador Q puede tener distintos tipos de factores. Simples, factores de primer grado no repetidos ax + b. Factores de primer grado (ax + b)k, k > 1. Simple, factores de segundo grado no repetidos ax2 + bx + c. Al asumir que los factores no pueden factorizarse más, debe suceder que b2 – 4 ac < 0. Factores de segundo grado (ax2 + bx + c)k, k>1. También aquí b2 – 4 ac < 0. La descomposición en fracciones simples se calcula de la misma forma en todos los casos de arriba. En ocasiones, es necesario integrar las fracciones simples resultantes. Podemos realizar la integral de manera inmediata mediante las fórmulas de integración, aunque los cálculos para la descomposición suelen ser complicados. Descomposición en fracciones simples

Factores de primer grado (no repetidos) (Raíces reales simples) Caso 1 Descomposición en fracciones simples: Caso 1 Descomposición en fracciones simples

Factores de primer grado (no repetidos) (Raíces reales simples) Ejemplo Las ecuaciones para obtener A y B se obtienen sabiendo que dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales. Descomposición en fracciones simples

Factores de segundo grado (no repetidos) (Raíces complejas simples) Caso II Descomposición en fracciones simples: Caso II Descomposición en fracciones simples

Factores de segundo grado (no repetidos) (Raíces complejas simples) Ejemplo Para obtener estas ecuaciones usamos el hecho de que los dos numeradores deben ser iguales. Por ello los coeficientes del mismo grado deben coincidir Descomposición en fracciones simples

Factores de primer grado repetidos (raíces reales múltiples) Caso III Descomposición en fracciones simples: Caso III Descomposición en fracciones simples

Factores de primer grado repetidos (raíces reales múltiples) Ejemplo Igualando los coeficientes de los numeradores. Descomposición en fracciones simples

Factores de segundo grado repetidos (raíces complejas múltiples) Caso IV Descomposición en fracciones simples: Caso IV Descomposición en fracciones simples

Factores de segundo grado repetidos (raíces complejas múltiples) Ejemplo Descomposición en fracciones simples

Integración de las fracciones simples Descomponer en fracciones simples es el método más utilizado para integrar Funciones Racionales. Tras la descomposición, deberemos tratar con integrales de los siguientes tipos . Tendremos cuatro casos; los dos primeros son muy sencillos: K es la constante de integración. Descomposición en fracciones simples

Integración de las fracciones simples En los casos restantes calcularemos integrales del tipo: En la tercera, observamos que– como el denominador no puede factorizarse más– tenemos 4ac-b2 > 0. Mediante los cambios de variable pertinentes obtenemos: Siendo K la constante de integración Descomposición en fracciones simples

Integración de las fracciones simples Integrando por partes repetidamente estas integrales pueden reducirse al tercer caso Teorema Descomposición en fracciones simples

Algoritmo de Integración Una Función racional f = P/Q, donde P y Q son polinomios, puede ser integrada de la siguiente forma: Si grad(Q) grad(P), dividimos los polinomios y reescribimos la función como P/Q = S + R/Q, donde S y R son polinomios con grad(R) < grad(Q). Integramos el polinomio S. Factorizamos los polinomios Q y R, y simplificamos. Descomponemos en fracciones simples la función R/Q. Integramos las fracciones simples Descomposición en fracciones simples

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (1) Ejemplo 1 Descomposición en fracciones simples

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (2) Ejemplo 1 Hacer el Cambio de Variable u=x2+x+1 en la primer integral y reescribir la segunda. Esta es la expresión que nos indica el cambio de variable para finalizar el cálculo Descomposición en fracciones simples

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (3) Ejemplo 2 Podemos simplificar la función dividiendo los polinomios en primer lugar. Debemos realizarla siempre que sea posible. Así, obtenemos: Descomponemos en fracciones simples y obtenemos: Por último integramos : Descomposición en fracciones simples

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (4) Ejemplo 3 En este caso, descomponiendo en fracciones simples obtenemos: Que es una expresión fácil de integrar. Sin embargo, la integral es inmediata: hacemos el cambio de variable: Y obtenemos directamente el resultado: Descomposición en fracciones simples

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä