Propiedades de las Funciones Continuas Revisión de la definición de Funciones Continuas Teorema del máximo y mínimo Teorema de Bolzano Teorema de los Valores Intermedios Aplicaciones del Teorema de los Valores Intermedios

Funciones Continuas (1) Una función f es continua en el punto x0 si Definición 1 Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo punto del intervalo. Una función que no es continua (en un punto o en un intervalo) se dice que es discontinua. Función continua Función discontinua Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Funciones Continuas(2) Las siguientes funciones son continuas en los puntos donde toman valores finitos. Polinomios – son funciones continuas siempre. Funciones racionales. Funciones definidas por expresiones algebraicas. Funciones exponenciales y sus inversas. Funciones trigonométricas y sus inversas. Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Funciones Continuas(3) Supongamos que f y g son funciones continuas. Teorema Las siguientes funciones son continuas: f + g f g f / g supuesto que g  0, es decir es una función continua en todos los puntos x para los que g(x)  0. Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Funciones Continuas(4) Lema Supongamos que f es continua en g(x0), g es continua en x = x0, y que f ◦ g esté definida. Entonces El resultado anterior es consecuencia de la definición de continuidad. Se tiene inmediatamente el siguiente corolario. Corolario Supongamos que f es continua en g(x0), g es continua en x = x0, y que f ◦ g esté definida. Entonces f ◦ g es continua x = x0. Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Resultados importantes: El Teorema del Máximo-Mínimo b M Valor Máximo Valor Mínimo Teorema del Máximo-Mínimo Una función continua en un intervalo cerrado alcanza máximo y mínimo en dicho intervalo. a b c Candidato a máximo de f en [a,b]. La función f no alcanza el valor máximo porque f(c) < 0. Gráfica de la Función g. En el intervalo cerrado [a,b] la función g alcanza su máximo en el punto M y su mínimo en el extremo b. Gráfica de la Función f. Esta función no es continua en x = c, y no alcanza máximo en el intervalo [a,b]. Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Resultados importantes: El Teorema de Bolzano Sea f una función continua en un intervalo [a,b], a < b, y tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe u n punto c  (a,b) tal que f(c) = 0. a b c a b Una función discontinua puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0. Una función continua no puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0. Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Resultados importantes: El Teorema de los Valores Intermedios Supongamos que f es continua en [a,b], y que t es un número entre f(a) y f(b). Entonces existe un número c  [a,b] tal que f(c) = t. Prueba Aplicar el teorema de Bolzano a la función f(x) – t. a b f(a) f(b) t Puede haber varios candidatos para el punto c en los cuales la función toma el valor t. La función de la figura toma el valor t en tres puntos diferentes del intervalo [a,b]. Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Completitud de los Números Reales Los resultados anteriores son profundos. El resultado principal para probarlos es la Completitud de los Números Reales: Todo conjunto acotado y no vacío de números reales tiene SIEMPRE extremos superior (la menor de las cotas superiores) y extremo inferior (la mayor de las cotas inferiores). Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Usando el Teorema de los Valores Intermedios (1) Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error <0.001. Problema Solución Consideremos la función f(x) = cos(x) – 2x. Claramente: cos(x) – 2x = 0  f(x) = 0. Por tanto tenemos que demostrar que la función f toma el valor 0. La función f es claramente continua. Como f(0) = 1 > 0 y f(1) = cos(1) – 2 < 0, concluimos, por el Teorema de los Valores Intermedios, que existe un número c, 0 < c < 1, tal que f(c) = 0. Por tanto la ecuación tiene una solución entre 0 y 1. Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Usando el Teorema de los Valores Intermedios (2) Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error <0.001. Problema Solución Sabemos que hay solución c entre 0 y 1. Tomamos como primera aproximación de la solución c, el punto medio del intervalo (0,1), es decir la aproximación es c  ½. Para mejora la aproximación evaluamos f(½) = cos(½) – 1 < 0. Como f(0) = 1 > 0, la solución c está entre 0 y ½. Tomamos como aproximación de c, el punto medio del intervalo (0,½). La aproximación es ahora c  ¼. Repetimos: Como f(¼) = cos(¼) – ½ > 0, la solución está entre ¼ y ½, y nuestra aproximación es c  ⅜, punto medio del intervalo (¼, ½). Se repite lo anterior hasta encontrar un intervalo de longitud <0.002 conteniendo la solución. El punto medio de ese intervalo es la aproximación deseada Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Usando el Teorema de los Valores Intermedios (3) Solución (cont’d) Conocemos , por el teorema de los valores intermedios, que la solución está entre dos números para los cuales la función cambia de signo. Esto sucede entre 0 y 1, entre 0 y ½, y entre ¼ y ½, y así sucesivamente. 1 0.5 2ª iteración, c0.25 0.45018 0.450195 17ª iteración, c0.45018750 1ª iteración, c0.5 Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä