Aproximación lineal y diferenciales Polinomio de Taylor.

Habilidades Define el proceso de linealización de una función. Describe el concepto de diferencial de una función. Interpreta el concepto de diferencial usando un gráfico. Extiende la aproximación usando el polinomio de Taylor.

Aproximación Lineal Definición Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), como una aproximación a la curva y = f(x), cuando x está cerca de a. a x Recta tangente: Definimos la linealización de f en a como: Aproximación lineal de f en a: cerca de a

Ejemplo Encuentre la linealización de la función en a = 1 y úsela para aproximar y

Diferencial de una función Definimos el diferencial de una función f en a, como: Se utiliza = h: Definición a a + h f ’ (a) h h f(a + h) - f(a) Aproximamos el cambio o incremento de f en a, mediante el diferencial de f en a, cuando x está cerca de a: f(a+h) – f(a) f ’(a) h Es decir:

Diferencial de una función Teorema Consideremos la función: luego: es decir: Por lo que podemos escribir: En forma general:

Polinomios de Taylor Definición Definimos el polinomio de Taylor de grado 1 de f, con centro en a, como la linealización de f en a: Este polinomio tiene las siguientes propiedades: cerca de a a 1 x

Polinomio de Taylor Aproximación lineal Aproximación cuadrática Dado f(x). Hallar una función cuadrática p(x) que se aproxime a f(x) cerca de x = a Dado f(x). Hallar una función lineal p(x) que se aproxime a f(x) cerca de x = a Para ello: p(a) = f(a) Para ello: p(a) = f(a)

Polinomios de Taylor Definición Definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de f, . con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades: a 2 x Este polinomio resulta ser: cerca de a

Polinomios de Taylor Definición Definimos el polinomio de Taylor de grado n de f, con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades: Este polinomio resulta ser: cerca de a Teorema

Ejemplo Halle un polinomio de tercer grado que aproxime a la función f(x) = sen x alrededor de a = 0. p3(x)

Ejemplo Halle un polinomio de quinto grado que aproxime a la función f(x) = sen x alrededor de a = 0. p3(x) p5(x)

Ejemplo Halle un polinomio de tercer grado que aproxime a la función f(x) = ex alrededor de a = 0. p3(x)

Ejemplo Halle un polinomio de tercer grado que aproxime a la función f(x) = ex alrededor de a = 0. p3(x) p4(x)

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Ejercicios 3.11 pág 264: 5 al 44, 48.