(posició d’equilibri) 1.4. Moviments periòdics. Moviments oscil·latoris X (posició d’equilibri) + A (elongació màxima) (elongació màxima) - A

Repàs de les funcions trigonòmetriques y = sin x (representada de color blau) y = cos x (representada de color vermell) x y x y 1 π/2 π/2 1 π -1 π y 3π/2 3π/2 -1 2π 1 2π 5π/2 5π/2 1 X (els angles)

1.5. Moviment harmònic simple D3 1.5. Moviment harmònic simple El moviment harmònic simple (MHS) és un tipus de moviment oscil·latori en una sola dimensió, i la seva trajectòria és rectílinia (en una sola direcció, x o y) . Per caracteritzar el seu moviment necessitem l’equació del moviment (t) = (x,0) (si el moviment té lloc en la direcció X). Com la direcció ja la sabem podem treballar directament amb el mòdul, és a dir amb la component x.

(posició d’equilibri) (posició d’equilibri) Equació del moviment x = A sin (ωt + φ0) en m. La posició del mòbil en funció de t. X (elongació màxima) - A + A (elongació màxima) (posició d’equilibri) X és la posició del mòbil o l’elongació (en m) A és l’amplitud o l’elongació màxima (en m) + X (elongació màxima) - A (posició d’equilibri) + A (elongació màxima) φ0 és la fase inicial, i ens indica la posició (elongació del mòbil) en l’instant inicial.

(posició d’equilibri) Equació del moviment x = A sin (ωt + φ0) en m. La posició del mòbil en funció de t. X (elongació màxima) - A + A (elongació màxima) (posició d’equilibri) Exemple 1. En t = 0 el mòbil es troba en la posició d’equilibri x = 0 0 = A sin φ0 ; sen φ0 = 0 i aleshores φ0 = arc sin 0 = 0 rad Exemple 2. En t = 0 el mòbil es troba en la posició d’equilibri x = A A = A sin φ0 ; sen φ0 = 1 i aleshores φ0 = arc sin 1 = π/2 rad Eq. de moviment x = A sin (ωt + π/2)

(posició d’equilibri) Equació del moviment: x = A sin (ωt + φ0) La posició del mòbil en funció de t. X (elongació màxima) - A + A (elongació màxima) (posició d’equilibri) ω és la freqüencia angular o la pulsació (en rad/s) (NO Velocitat angular del MCU), i correspon a la “rapidesa” amb la que es produeix una oscil·lació. Recordeu el període T (en s, el temps que triga al fer una oscil·lació) Quina relació hi ha entre el període (T) i la pulsació (ω)? 2π ω = rad/s T Demostrem perquè és 2π?

D7 Equació del moviment: x = A sin (ωt + φ0) La posició del mòbil en funció de t. 2π ω = Demostrem perquè és 2π? T t = 0 x = A sin (φ0) Quan torni a passar per x haurà passat un període (T) t = T x = A sin (ωT + φ0); Aleshores sin (φ0) = sin (ωT + φ0) Exemple. sin 0 = sin (2π + 0) 2π ω T= 2π ; ω = T

D8 Equació del moviment: x = A sin (ωt + φ0) La posició del mòbil en funció de t. 2π ω = T També hi ha la freqüencia f (en s-1 o Hz) que és la inversa del període (T), és a dir, el nombre d’oscil·lacions que fa en 1s. 1 f = ω = 2 π f (rad/s) T Exemple. Una partícula es mou amb MHS i triga 0,5 s al fer una oscil·lació. Quan val la freqüència? Quan val la pulsació? T = 0,5 s (per fer una oscil·lació triga 0,5 s). 1 f = = 2 Hz (2 s-1) (en 1 s fa dues oscil·lacions) 0,5 s ω = 2 π f = 2 π 2 s-1 = 4 π rad/s

Equació del moviment: x = A sin (ωt + φ0) 2π ω = ω = 2 π f T Segons aquestes fórmules, ω, T i f NO depenen de l’amplitud de l’oscil·lació. Ho demostrem al laboratori amb un pèndol (en lloc d’una molla). Representació de l’equació de moviment x = A sin (ωt) considerem φ0 = 0 x = A sin ( t) 2π t (en s) x (en m) T 2π A sin = A sin 0 = 0 x (en m) T T + A 2π T/4 T π A sin · = A sin T 4 2 = A T/2 A sin 2π T · = A sin π = 0 T 2 2π 3T/4 · 3T 3π A sin = A sin = - A T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 T 4 2 2π T A sin = A sin 2π = 0 t (en s) T T - A

(posició d’equilibri) Equació del moviment: x = A sin (ωt + φ0) La posició del mòbil en funció de t. 2π ω = ω = 2 π f T x (en m) X (posició d’equilibri) + A (elongació màxima) (elongació màxima) - A t (en s)

D11 Pàg 80. Exercici 7: Una determinada partícula es mou amb un MHS, essent φ0 = 0, la seva f = 50 Hz i la seva amplitud A = 3 cm. Calcula: El període La pulsació L’equació de l’elongació (l’equació de moviment) Solucionat a la pissarra.

Equació de velocitat: La velocitat del mòbil en funció de t. v = dt dx Equació de velocitat: La velocitat del mòbil en funció de t. v = dt d[A sin (ωt + φ0)] x = A sin (ωt + φ0) v = = A cos (ωt + φ0) ω dt v(t) = A ω cos (ωt + φ0) en m/s Representació de l’equació de velocitat considerem φ0 = 0 v = Aω cos ( t) 2π t (en s) v (en m/s) T 2π Aω cos = Aω cos 0 = Aω T/2 T/4 3T/4 T 5T/4 + Aω - Aω t (en s) v (en m/s) T T/4 Aω cos 2π T π · = Aω cos = 0 T 4 2 2π T/2 Aω cos T · = Aω cos π = - Aω T 2 2π · 3T 3π 3T/4 Aω cos = Aω cos = 0 T 4 2 2π T Aω cos T = Aω cos 2π = Aω T

D13 x (en m) T + A + T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 t (en s) - A X v (en m/s) (elongació màxima) - A + A (elongació màxima) + Aω V = 0 V = A ω (velocitat màxima) V = 0 Si comparem les dues gràfiques podem veure que quan x = 0 la velocitat és màxima i que quan x =  A la velocitat és nul·la. T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 t (en s) - Aω

Criteri de signes (sistema de referència): + (cap amunt positiu) + (cap a la dreta positiu) v > 0 v < 0 0, Vmàx X v < 0 v > 0 v > 0 v > 0 (el sentit positiu de la velocitat significa que el mòbil es mou cap a la dreta) v < 0 v < 0 (el sentit negatiu de la velocitat significa que el mòbil es mou cap a l’esquerra) y A v = 0 Vmàx. + A v = 0 IMPORTANT. Les fletxes només indiquen si el moviment és cap a la dreta o cap a l’esquerra.

D15 + x(t) = 0,5 sin ( t) en m v(t) = 0,5 cos ( t) en m/s 2π ω = 2π (elongació màxima) – 0,5 m + 0,5 m (elongació màxima) V = 0 V =  0,5 ω (velocitat màxima) V = 0 x(t) = 0,5 sin ( t) en m M.H.S. v(t) = 0,5 cos ( t) en m/s v (en m/s) 1,5 1 A = 0,5 m x (en m) 0,5 Elongació Velocitat t(s) 1 2 3 4 5 -0,5 -1 T = 4 s 2π ω = 2π ω = = rad/s T -1,5 4 s

Equació de l’acceleració: L’acceleració del mòbil en funció de t. a = x(t) = A sin (ωt + φ0) dv Equació de l’acceleració: L’acceleració del mòbil en funció de t. a = dt d[Aω cos (ωt + φ0)] v = A ω cos (ωt + φ0) a = = - A ω sin (ωt + φ0) ω dt a(t) = - A ω2 sin (ωt + φ0) en m/s2 a(t) = - ω2 x Representació de l’equació de l’acceleració considerem φ0 = 0 2π a = - Aω2 sin ( t) t (en s) a (en m/s2) T T/2 T/4 3T/4 T 5T/4 + A ω2 t (en s) a (en m/s2) - A ω2 2π - Aω2 sin = A sin 0 = 0 T 2π T/4 - Aω2 sin T π · = - A ω2 sin = - Aω2 T 4 2 T/2 2π - Aω2 sin T · = - Aω2 sin π = 0 T 2 2π 3T/4 3T 3π - Aω2 sin · = - Aω2 sin = A ω2 T 4 2 T - Aω2 sin 2π T = - Aω2 sin 2π = 0 T

D17 a = - ω2 x L’acceleració és proporcional a l’elongació i de sentit contrari x (en m) + + A T T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 t (en s) - A X v (en m/s) (elongació màxima) - A + A (elongació màxima) + Aω V = 0 V = A ω (velocitat màxima) V = 0 T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 t (en s) a = + A ω2 (acceleració màxima) a = 0 a = - A ω2 (acceleració màxima) - Aω a (en m/s2) + A ω2 Si comparem les gràfiques x-t i a-t podem veure que quan x = 0 l’acceleració és nul·la i que quan x = A l’acceleració és màxima. T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 t (en s) - A ω2

+ (cap a la dreta positiu) IMPORTANT!!! + (cap a la dreta positiu) El signe de la velocitat indica si es mou cap a la dreta o cap a l’esquerra. I l’acceleració, si té el mateix signe que la velocitat vol dir que el moviment és accelerat i si té signe contrari a la velocitat vol dir que el moviment és de frenada. X v < 0 a > 0 v > 0 a < 0 v > 0 a > 0 v < 0 a < 0 a = - ω2 x - A L’acceleració és proporcional a l’elongació i de sentit contrari + A V = 0 Vmàx. V = 0 a = + Aw2 a = 0 a = -Aw2 IMPORTANT. Les fletxes només indiquen si el moviment és cap a la dreta o cap a l’esquerra.

Elongació x(t)= A sin(t+) ó x(t)=A cos(t+) D19 Resum de la cinemàtica del MHS Volem conèixer les funcions que donen l’elongació (x), la velocitat i l’acceleració en funció del temps en els MHS. Elongació x(t)= A sin(t+) ó x(t)=A cos(t+) Velocitat v(t)=A cos(t+) ó v(t)=-A sin(t+) Acceleració a(t)=-A2 sin (t+) ó a(t)=-A 2cos(t+) a(t)= - 2. x(t)

D20 Quan x i a són màximes, v=0. Quan v és màxima, x=0 i a=0