Fórmulas Recursivas y Aproximaciones Dr. Román Miguel Moreno, Ph.D. CEM

Conceptos de los Métodos Numéricos Los dos conceptos fundamentales de los métodos numéricos son las Fórmulas Recursivas y las Aproximaciones Sucesivas. Fórmulas Recursivas. Una Fórmula Recursiva relaciona términos de una secuencia particular de números, funciones, polinomios, etc. proporcionando un medio para calcular elementos o términos sucesivos, en función de unos calculados previamente.

Fórmulas Recursiva Simple Fórmula Recursiva Simple. Sean los términos de una secuencia denotados por t1, t2, t3, ..., tn. Si el primer término es conocido y si cualquier término sucesivo tk (k = 2, ..., n) puede expresarse en función del término tk-1 y otras cantidades conocidas, entonces la expresión para tk es una FRS.

Ejemplo FRS Encontrar la FRS para evaluar la suma S de un conjunto dado de números: a1, a2, a3, ..., an

Diagrama de Flujo Inicio Read n, ak (k=1,n) S1=a1 k=2 Sk=Sk-1+ak No Si Write S Fin

Algoritmo Computacional ! Programa para calcular la FRS Sk=sk-1+ak (k=2,n) Program FRS01 integer i,k,n real S,T,x DIMENSION T(10) write(*,*) write(*,10) read(*,*) n 10 FORMAT(' Numero de datos (n) = ',\) DO I=1,n write(*,20) I read(*,*) x T(I)=x END DO 20 FORMAT(' S(',I2,') = ',\) S=T(1) DO k=2,n S=S+T(k) write(*,30) S 30 FORMAT(' S = ',F8.2) read(*,*) END

Fórmula Recursiva Múltiple Fórmula Recursiva Múltiple. Sean los términos de una secuencia denotada por t1, t2, t3, ..., tn. Si los términos iniciales son conocidos y si cada término sucesivo tk puede expresarse en función de los términos precedentes tk-1, tk-2, tk-3, ... y otras cantidades conocidas, entonces la expresión para tk es una FRM.

Ejemplo de FRM Encontrar la FRM de la serie de Fibionacci:

Ejemplo 1 FR Encontrar la FR de una progresión aritmética. Solución: Y la fórmula recursiva queda como:

Ejemplo 1 FR Suponiendo que queremos generar tk en términos de tk-1 usando una sola fórmula recursiva, entonces, aplicando la ley asociativa de la suma tenemos: Y la fórmula recursiva queda como:

Ejemplo 2 FR Encontrar la FR de una progresión geométrica. Si aplicamos ley asociativa de la multiplicación, tenemos: La solución es:

Ejemplo 2 FR Ahora vamos a suponer que deseamos obtener las sumas parciales S0, S1, S2, S3, ..., de la Serie Geométrica donde la suma parcial se puede expresar como De esta forma, obtenemos: Y la fórmula recursiva de las sumas parciales es:

Aproximaciones Sucesivas Uno de los conceptos más importantes en el análisis numérico es las aproximaciones sucesivas. Este concepto debe ser familiar a cualquier estudiante de matemáticas. Esta es la analogía de una variable discreta en el proceso del límite de una variable continua, es la base del cálculo diferencial e integral.

Aproximaciones Sucesivas La derivada de una función continua y = f(x) se define como: mientras que la definición de una integral definida es:

Tarea 1 1. Encuentre las fórmulas recursivas, diagramas de flujo y algoritmos computacionales (en FORTRAN) de las siguientes secuencias de números y diga si son simples o múltiples: a) 2, 5, 10, 50, ... b) 1, 3, 3, 27, ... 2. Encuentre las fórmulas recursivas de las siguientes secuencias de polinomios de x y diga si son simples o múltiples: a) x, x2 - 2, x3 - 2x - 3, ... b) a, x2, x4 + 2a, x8 + 4a4 + 2x2 + 4a2, ... 3. Encuentre la fórmula recursiva que permita calcular los polinomios de Chebyshev Tk, dados los siguientes: T0 = 1 T1 = x T2 = 2x2 - 1 T3 = 4x3 - 3x