Integrales con funciones logarítmicas Recordando que la parte medular de la integración es encontrar funciones que al ser derivadas sean las funciones que se encuentran en el integrando, podemos deducir fórmulas de integración a partir de las de derivación. En Cálculo Diferencial se abordó la derivación de funciones logarítmicas.

Funciones exponenciales Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = ax, donde a > 0 y a ≠ 1. Al igual que cualquier expresión exponencial, a se llama base y x se llama exponente.

Con la definición f(x) = ax y las restricciones de a > 0 y a ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos. Ejemplos de funciones exponenciales: La siguiente gráfica muestra f(x) = 2x.

Propiedades 𝑎 𝑥+𝑦 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑥−𝑦 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 −𝑥 = 1 𝑎 𝑥

Relación entre las funciones logarítmicas y exponenciales

Ejemplos

Funciones logarítmicas

Propiedades

Función exponencial: f(x) = 𝑒 𝑥 La función exponencial, es conocida formalmente como la función real f(x) = ex, es una función exponencial con base “e” donde ”e” es el número de Euler. El número “e”, también conocido como Número de Euler o Constante de Napier es uno de los números reales más relevantes, considerado como el número del cálculo por excelencia. Su valor aproximado es: e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 El descubrimiento del número e se le acredita a Jakob Bernoulli, que estudiaba un problema llamado interés compuesto. “e” es un número irracional que puede expresarse con cualquier grado de exactitud usando una serie infinita. A la función exponencial se se suele llamar función exponente natural.

Se denota como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. Una definición habitual es: ln e = 1 Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.

Función logaritmo natural Se denomina logaritmo natural al logaritmo cuya base es el número e. El logaritmo natural se denota como ln(x), como loge(x). El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo natural de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo natural de e es 1, ya que e1=e.

El logaritmo natural es una función real con dominio de definición los números reales positivos. El logaritmo natural corresponde a la función inversa de la función exponencial natural:

Propiedades nlnx=𝑙𝑛 𝑥 𝑛

Desde el punto de vista analítico, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,4​ puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. 

Definición Formalmente, la función ln(x) se define para valores reales positivos, como el área bajo la gráfica de 1/t entre 1 y x. Esta área corresponde a una integral.

Integración El logaritmo natural permite la integración sencilla de las funciones de la forma g(x) = f '(x)/f(x): una primitiva g(x) viene dada por ln(|f(x)|). Esto es debido a la regla de la cadena y también a lo siguiente: En otras palabras:

También se puede ver de esta manera:

Ejemplo Tomando f(x) = cos(x) y f'(x)= – sin(x):

En general, se expresa de la siguiente manera: 𝑑𝑢 𝑢 =𝑙𝑛𝑢+𝐶

Ejemplos 1. 2. 3. 4.

Integrales con funciones logarítmicas y exponenciales 𝑎 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 +𝐶 𝑒 𝑥 𝑑𝑥= 𝑒 𝑥 +𝐶 𝑎 𝑢 𝑑𝑢= 𝑎 𝑢 𝑙𝑛𝑎 +𝐶 𝑒 𝑢 𝑑𝑢= 𝑒 𝑢 +𝐶

Integrales de funciones logarítmicas y exponenciales Ejemplos: 1. 2. 3. 4.