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DefiniciΓ³n de logaritmo:
Es el exponente a, al cual se debe elevar la base b para obtener el argumento N Con N y b nΓΊmeros reales positivos y b diferente de 1 El πππ π π΅=π Forma logarΓtmica Forma exponencial πππ π ππ=π ππ= π π 3 πππ π ππ= ππ= π π π πππ= ππ π πππ πππ=
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Propiedades de los logaritmos:
Para todo M, N, b>0, bβ 0 se cumple que: 1) πππ π π=π 5) πππ π π΄π΅= πππ π π΄+ πππ π π΅ 2) πππ π π=1 6) πππ π π΄ π΅ = πππ π π΄β πππ π π΅ 3) πππ π π΄ π =π πππ π π΄ 7) πππ π π΄=π₯π§ π ln=logaritmo natural y e= β¦ 4) πππ π π π΄ = π π πππ π π΄
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Ejemplos donde se utiliza la formula:
π
π π = π₯π§ π +πͺ Cuando se integra una funciΓ³n cociente π(π) π π , primero debemos verificar que π(π) sea menor que π π , si no se cumple lo anterior, entonces procedemos hacer la divisiΓ³n algebraica o tambiΓ©n ver si se puede simplificar utilizando la factorizaciΓ³n. π
π πβπ π=πβπ π
π π
π =π π
π=π
π π
π πβπ =ππ πβπ +πͺ
4
π
π ππβπ ππ
π π(ππβπ) = π π ππ
π ππβπ π=ππβ3 π
π π
π =π π
π=ππ
π
ππ
π π(ππβπ) = π π ππ
π ππβπ π=ππβ3 π
π π
π =π π
π=ππ
π = π π ππ
π ππβπ = π π ππ ππβπ +π Aplicando la propiedad 3 de los logaritmos tenemos: La diferencial no esta completa por lo que tenemos que multiplicar y dividir por 2 para completar la diferencial =ππ ππβπ π π +π =ππ ππβπ +π
5
ππ
π π π +π πππ
π π( π π +π) = π π ππ
π π π +π π= π π +π π
π π
π =ππ
ππ
π π π +π πππ
π π( π π +π) = π π ππ
π π π +π π= π π +π π
π π
π =ππ π
π=πππ
π = π π ππ
π π π +π = π π ππ π π +π +π Aplicando la propiedad 3 de los logaritmos tenemos: La diferencial no esta completa por lo que tenemos que multiplicar y dividir por 2 para completar la diferencial =ππ π π +π π π +π =ππ π π +π +π
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Se puede observar que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto, el cual se puede factorizar y nos queda la siguiente expresiΓ³n: (π+π)π
π π π +ππ+π (π+π)π
π (π+π) π (π+π)π
π (π+π)(π+π) π
π (π+π) π=π+π π
π π
π =π π
π=π
π = π₯π§ π+π +πͺ
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π(π+π)π
π π( π π +ππ+π) = π π π(π+π)π
π π π +ππ+π
(π+π)π
π π π +ππ+π π(π+π)π
π π( π π +ππ+π) = π π π(π+π)π
π π π +ππ+π π= π π +2x+1 π
π π
π =ππ+π π
π=π(π+π)π
π = π π π(π+π)π
π π π +π = π π ππ π π +ππ+π +π Aplicando la propiedad 3 de los logaritmos tenemos: =ππ π π +ππ+π π π +π La diferencial no esta completa por lo que tenemos que multiplicar y dividir por 2 para completar la diferencial =ππ π π +ππ+π +π =ππ (π+π) π +π =ππ(π+π)+π
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Ejercicios: π
π π+π = π₯π§ π+π +πͺ π
π π+ππ = π₯π§ (π+ππ) π π +πͺ π ππ π π+ππ π π π β π π π
π = β π π π π βππ₯π§ π+πͺ π β π π π π βπ₯π§ π π +πͺ
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