III. Guia d’ona planar La guia planar Teoria de modes acoblats Descripció geomètrica Descripció EM Modes, constants de propagació, etc. Teoria de modes acoblats Dispositius de tecnologia planar Dispositius pasius Dispositius actius

1.A. La guia planar: descripció geomètrica Dielèctrics transparents x RTI Recobriment n1 n Nucli qi n2 qi -a RTI n3 Substrat Suposarem n2 > n3 ≥ n1

No confinat Font n1 Confinat n2 n3 No confinat

En general, medis dispersius… Si a ~ l, cal teoria electromagnètica La guia planar no existeix al món real, però n’hi ha que s’hi semblen abastament… L L >> W >> a a W En general, medis dispersius… Si a ~ l, cal teoria electromagnètica

1.B. La guia planar: descripció electromagnètica De moment, suposarem: Guia infinitament llarga Substrat i recobriment de gruix infinit Materials dielèctrics transparents, no magnètics ni polars Sense càrregues ni corrents lliures Condicions de contorn (x = 0, x = -a) Continuitat Ey, Ez Continuitat e(x) Ex Continuitat Hy, Hz Continuitat m0 Hx

b: Constant de propagació Cerquem solucions: Propagant-se en Z Independents d’Y Confinades en X b: Constant de propagació X Z TE X Z TM B A C B A C Y Y

Modes TE (w/c) n2 ≥ b ≥ (w/c) n3

A contínua a x = 0 i a x = -a dxA contínua a x = 0 Manca imposar la continuitat de dxA a x = -a Aquesta és una equació per a b, l’anomenada EQUACIÓ D’AUTOVALORS, que ens determina, donada w, a i els índex de refracció, quines són les constants de propagació permeses a la guia. Aquesta és una equació trascendent que pot tenir múltiples solucions; a cadascuna d’elles li posem l’etiqueta m = 0 ··· M. Coneguda bm, coneixem p, q i h i per tant el perfil espacial de la solució TE corresponent, que anomenem el mode TEm de la guia a freqüència w.

En principi, cal resoldre-la cada vegada per a la configuració donada Programa d’ordinador Però podem també resoldre “totes” les guies d’un sol cop… Freqüència normalitzada Constant de propagació normalitzada Paràmetre d’asimetria Factor de reducció

Però per a que dos angles tinguin la mateixa tangent, cal que siguin iguals excepte un múltiple sencer de p 

V 3p+atand 3p Si V ≤ atand, no hi ha cap solució. m=2 Si m > [V/p], tampoc V 2p m=1 p+atand p m=0 atand b 1

b determina els perfils modals m: # de zeros dins el nucli Modes de menor ordre tenen l’energia més confinada al nucli, modes de més alt ordre menys confinats m = 2 m = 1 m = 0 nucli Guia simètrica feble m = 2 m = 1

Modes TM (w/c) n2 ≥ b ≥ (w/c) n3

C contínua a x = 0 i a x = -a dxC/e(x) contínua a x = 0 Manca imposar la continuitat de dxC/e(x) a x = -a Aquesta és una equació per a b, l’anomenada EQUACIÓ D’AUTOVALORS, que ens determina, donada w, a i els índex de refracció, quines són les constants de propagació permeses a la guia. Aquesta és una equació trascendent que pot tenir múltiples solucions; a cadascuna d’elles li posem l’etiqueta m = 0 ··· M. Coneguda bm, coneixem p, q i h i per tant el perfil espacial de la solució TM corresponent, que anomenem el mode TMm de la guia a freqüència w.

Com abans, podem trobar la versió normalitzada de l’equació d’autovalors per als modes TM

Les constants de propagació normalitzades Els factors de confinament El fitxer executable que teniu a ..\guia planar\guiaplanar3b.exe resol les equacions d’autovalors normalitzades, i en determina: Les constants de propagació normalitzades Els factors de confinament per a les famílies TE i TM Apertura numèrica, NA : 1,3228756555323 Freqüència normalitzada, V : 8,31187288206608 Asimetria, d: 0,714285714285714 Factor de reducció, r : 0,5625 TE TM Mode b G b G 0 0,903 0,984 0,881 0,980 1 0,619 0,918 0,538 0,880 2 0,180 0,750 0,067 0,383

Cap mode confinat Guia monomode Guia multimode TE1 TE2 TM1 TE0 TM2 TM0 TE4 TE3 TM4 TM3 TE5 TM5

Propietats importants Guia simètrica: sempre confina al menys un mode Si V creix, creix el # modes confinats: Més modes si a o si l Més modes si n22 – n32  La diferència de constants de propagació TE/TM creix quan r disminueix Hi ha dispersió fins i tot si els materials no fossin dispersius

w/c n2 h b A igual w, la velocitat de propagació en z dels modes depèn del mode: amb menor h tenen major b  menor velocitat de fase, però major velocitat de grup

Cal avaluació numèrica, en general Cada mode té dispersió diferent!!! bm funció complicada d’w (a través de V, r i d) Cal avaluació numèrica, en general Exemple: guia TE simètrica  bm = bm(V) Dispersió material Dispersió de la guia

Exemple: Una guia d’ones té un nucli de GaAs (n = 3.6) rodejat d’un substrat i un recobriment de GaAsAl (n = 3.55). Per a llum de l = 0.8 mm i un nucli de la guia de gruix 0.2 mm, determineu: Quants de modes confinats soporta la guia? Per a quina l confinaria un mode més? Determineu les constants de propagació dels tres primers modes TE, si hi són Determineu la velocitat de grup dels tres primers modes TE, si hi són, suposant materials no dispersius 1) Guia monomode: TE0 i TM0 2) Per a confinar un mode més, cal que V ≥ p + arctand = p 

3) Tenim V = 0.939  b  0.172

Propagació de polsos Considerem un pols de llum viatjant una distància L dins UNA GUIA PLANAR. Com al buit, la propagació és un problema lineal, però ara, en lloc d’ones planes monocromàtiques LP tenim MODES. Descomposem el camp d’entrada en components monocromàtiques, cadascuna d’aquestes en modes, els propaguem una distància L, i recombinem-ho tot… X Z Y Ein “Leaky”

Com als medis materials, integrals impossibles… Però podem considerar pols gaussià quasi-monocromàtic al voltant d’W 1) Temps d’arribada de cada mode diferent: Dispersió intermodal (modal) 2) Cada pols modal, distorsionat degut a Tj: Dispersió intramodal (<< intermodal)

Pendents a vg-1 Variacions intramodals “Espectre” del pols d’entrada

t Total TE0 TE1 TE2 z = 0 t Total TE0 TE1 TE2 z = L Guia molt multimode: DT~ (N2 – N3)/c L Dispersió multimodal, sMM~ 0.1-10 ns/km

Guies reals: en general, els modes (polarització, constants de propagació, perfils modals, etc.) de guies reals NO SÓN resolubles analíticament, i cal fer determinació numèrica mètode de propagació de feix (BPM) FDTD … aproximacions mètode de l’índex efectiu mètodes variacionals

2. Teoria de modes acoblats X Z Y Ein Modes? Què passa en la situació de la figura? Una part de la llum que va per una guia passa a l’altra, etc. n1 n2 n

Guia planar que podem resoldre exactament, amb BC a 4 llocs. ni ns nr x -d - b -d -a Guia planar que podem resoldre exactament, amb BC a 4 llocs. Eq. autovalors complicada Poca intuïció solucions

Suposem les guies monomode, i operació TE. Expressem el camp total com Cas general: WG1 Sabem resoldre cadascuna de les guies per separat WG2 Suposem les guies monomode, i operació TE. Expressem el camp total com

n n1 ni F1 nr x -a x n -d -d - b ni n2 ns F2

Substituïnt-ho a l’equació d’ones per a la guia completa, trobem on s’ha definit Projectant a cadascuna de les guies, tenim

Veiem que: Els termes amb Dkk redefineixen les constants de propagació, però són molt petits comparat amb les b. Els termes que van amb Q són petits, i Q també és petita Per tant, ens queda que Fem amb amplituds variant lentament en z, de manera que en la SVA resulta

Es pot prendre real, perquè els perfils modals ho són excepte una fase global que es pot carregar a les amplituds Suposem

NB: Òbviament, tot això també funciona amb TM… P2 P1 P0 z p/g Si b1 = b2 , tenim transferència completa de potència entre les dues guies quan z = p/(2g), un 50% de potència a cadascuna quan z = p/(4g), etc. Podem repartir potència a raó fixada entre dues guies (divisors potència) triant la longitud L de la guia. Una altra opció: fixada z, controlant b1 = b2 podem controlar la sortida NB: Òbviament, tot això també funciona amb TM…

El grau d’acoblament es pot controlar amb: La distància entre els nuclis Les diferències d’índex entre els nuclis i la capa intermèdia, ja que això varia les cues exponencials La situació més corrent és la de guies nominalment iguals, amb iguals índex a substrat, recobriment i central

En general, el dispositiu té 4 ports d’E/S, i per a guies idèntiques, tenim de manera que podem establir una relació entre els camps d’E/S Si el dispositiu té cares anti-reflectants,

3. Dispositius basats en tecnologia de guia planar a) Dispositius passius Divisors potència 3 dB coupler: 50% de potència a 3-4 tap: 1-5% potència a 4 i 99-95% a 3 o viceversa (monitorització) Cascada de 3 dB coupler: xarxes en estel L 1 2 3 4 Control molt precís del creixement Control molt precís de la longitud Forta sensibilitat a l Sensibilitat a la polarització Pèrdues d’inserció no menyspreables

Podem multiplexar o demultiplexar dues longituds d’ona! WDM mux/demux L 1 2 3 4 Podem multiplexar o demultiplexar dues longituds d’ona! Com que els coeficients d’acoblament depenen de l, coneguts aquests a dues l podem triar la longitud d’interacció L per a tenir, per a una, un divisor 100%-0%, i per a l’altra, un 0%-100%, de manera que les dues l surten pel mateix port: MUX A més, com que les trajectòries de la llum són reversibles, si les dues l entren pel mateix port, surten separades, cadascuna per un dels ports

Miralls en fibra 4 3 1 L 2

b) Dispositius actius: V o I al dispositiu i) Làsers i amplificadors òptics de semiconductor Injecció de corrent proporciona amplificació a ones que es propaguen dins del dispositiu Qualque element defineix el tamany lateral del laser/SOA (aquí, ridge) Cada capa té índex diferent: guia quasi planar Làser: monocromàtic i coherent  monomode lateral i transversal Longitud finita  cavitat  modes longitudinals

SOA: com un LD per davall del llindar SOA: com un LD per davall del llindar. No emet per sí mateix, però amplifica els senyals injectats al dispositiu si tenen la bona l I L˜ 0.2-2 mm A < 1 mm2 Contacte elèctric Feix injectat Feix transmés Bona operació: AR de les cares suposa coatings + guies en angle Guia quasi planar: sensibilitat a la polarització de l’ona incident Zones actives molt petites i especialment dissenyades Acoblament a FO difícil

Major probabilitat d’absorció: impureses, fonons, scattering… ii) Moduladors d’electro-absorció Un semiconductor absorbeix llum de l si Eg < hc/l A una heterounió, lc disminueix si s’aplica un voltatge en inversa V=0 Im c V < 0 V = 0 V<0 w = 2pc/l Major probabilitat d’absorció: impureses, fonons, scattering…

Làser amb EAM integrat: làser emet a l superior a la del gap de l’EAM quan V = 0, i sofreix baixa absorció, però és fortament absorbit quan V < 0. Redueix chirp del làser modulat directament Alta velocitat de resposta (> 10 Gb/s) Dispositius cars i difícils de construïr

iii) Modulació electro-òptica Efecte electro-òptic: hi ha materials (NO ISÒTROPS!) l’índex de refracció dels quals depèn del camp elèctric CW aplicat V V z V V > 0, n’z< nz, n V = 0, nz, n V < 0, n’’z>nz, n Per exemple, Niobat de Liti (LiNbO3): 40 GHz  20 Gb/s

V E Niobat de Liti La fase del camp a la sortida del dispositiu és modulada seguint la modulació de V: modulador de fase PSK:

Modulació d’intensitat (interferomètric): Mach-Zehnder Eout V Integració amb LD per a modulador extern d’alta velocitat Pèrdues d’inserció considerables Dependència amb l Ein