1 Longitud de arco.
2 LONGITUD DE ARCO DE CURVAS PLANAS Considérese una función f(x) continua y positiva en todo punto de algún intervalo [a,b]. Sea L la longitud del arco definido por f(x) desde x=a hasta x=b. ¿Cuál es el valor la longitud de arco de la curva plana?
3 LONGITUD DE ARCO
4 Es posible aproximar el valor de la longitud de arco mediante la consideración de UN segmento de recta entre los DOS puntos x=a y x=b.
5 LONGITUD DE ARCO Podemos mejorar la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de uno, ahora DOS segmentos de recta entre TRES puntos.
6 LONGITUD DE ARCO Podemos mejorar aún más la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de dos, ahora TRES segmentos de recta entre CUATRO puntos.
7 LONGITUD DE ARCO Considerando un gran número (n) de segmentos de recta sobre la curva de f(x) es posible mejorar aún más la aproximación de la longitud de arco. Pero ¿cómo se determina la longitud de cada uno de los segmentos?
8 Al igual que los conceptos de área y volumen, el concepto de longitud de arco requiere una definición cuidadosa. Si se estudiara un segmento de recta que une P 1 y P 2 su longitud sería: P1P1 P2P2 y2y2 y1y1 x1x1 x2x2 |P 1 P 2 |
9 LONGITUD DE ARCO Si la curva C se define mediante la ecuación y=f(x), donde a ≤ x ≤ b, obtenemos una aproximación de C tomando una partición P de [a; b], con a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Los puntos P i (x i, y i ) están en la curva y el polígono de vértices P i es una aproximación de C. La longitud de esa aproximación poligonal será: ax1x1 x2x2 x i-1 xixi x n =b P0P0 P1P1 P2P2 PiPi P i-1 PnPn C
10 La longitud anterior parece mejorar a medida que n ∞, por lo tanto definimos: La cual, si f '(x) es continua, se puede escribir:
11 TEOREMA Si f '(x) es continua en [a; b], la longitud de la curva definida por la ecuación y = f(x), siendo a ≤ x ≤ b, es: Que en términos de integral adopta la forma:
12 Si la ecuación de la curva es x = g(y), siendo c ≤ y ≤ d, la longitud de arco se calculará con: