Funciones Continuidad de una función Tipos de discontinuidad Funciones definidas a trozos Continuidad de Funciones

Continuidad Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple: Existe f(a) 2. Existe 3. Se cumple que f(a) = Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función es discontinua en x = a Continuidad de Funciones

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos. Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad. No se puede dividir por 0 Evidentemente no existe f(2) Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2 Números muy pequeños pero negativos: 1,90 – 2 = - 0,1 1,99 – 2 = - 0,01 Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales) Números muy pequeños pero positivos: 1,90 - 2 = 0,1 1,99 - 2 = 0,01 Continuidad de Funciones

Veamos la gráfica de la función: Cuando me acerco a 2+ la función va hacia +∞ Cuando me acerco a 2- la función va hacia -∞ Aquí tendremos Una Asíntota vertical De ecuación x=2 Continuidad de Funciones

Veamos el siguiente ejemplo con una función definida a trozos: Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición. Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición. Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición. Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad Continuidad de Funciones

Si nos fijamos en la gráfica de esta función veremos que: Continua en x = 5 Discontinua de 1ª especie en x = 2 con salto de 3 u. Continuidad de Funciones

Estudiamos analíticamente el caso de x = 2 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades. Continuidad de Funciones

Estudiamos analíticamente el caso de x = 5 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5 Continuidad de Funciones

Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable” Tenemos que Dominio de f = R - { 1 } Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1 1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio Como los límites izquierda y derecha son iguales tenemos que existe el límite x 1 Continuidad de Funciones

Veamos ahora la gráfica de la función Tenemos un agujero para x = 1 Continuidad de Funciones

Otro ejemplo de una función con discontinuidad “de 1ª Especie con salto ∞” Tenemos que Dominio de f = R - { 3 } Solo tendríamos que estudiar el caso x = 3 1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio Como los límites izquierda y derecha son Distintos tenemos que no existe el límite x 1 f(x) es discontinua de 1ª especie con salto de Continuidad de Funciones

Veamos ahora la gráfica de la función Continuidad de Funciones

Otro ejemplo de una función con discontinuidades Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 } Si estudiamos caso x = -1 1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio Como los límites izquierda y derecha son Distintos tenemos que existe el límite x 1 Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1) f(x) es discontinua evitable en el infinitode 1ª especie en el infinito Continuidad de Funciones

Otro ejemplo de una función con discontinuidades Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 } Si estudiamos caso x = 1 1. f (-1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio Como los límites izquierda y derecha son Distintos tenemos que no existe el límite x 1 f(x) es discontinua de 1ª especie con salto de Continuidad de Funciones

Veamos la gráfica de esta función: A.H. y= -1 A.V. x= 1 A.V. x= -1 Continuidad de Funciones

Fin del ejercicio Continuidad de Funciones