FUNCIONES.

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1 FUNCIONES

2 Características de las funciones
Dominio de una función Recorrido de una función Simetrías Periodicidad Continuidad Asíntotas Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

3 FUNCIONES ELEMENTALES
Polinómicas Racionales Irracionales Exponenciales Logarítmica Trigonométricas. Funciones definidas a intervalos Operaciones con funciones Suma, resta, multiplicación y división Composición de funciones. Función inversa.

4 DOMINIO Conjunto de valores tales que existe la función

5 RECORRIDO Conjunto de valores que toma la función

6 SIMETRÍA Respecto al eje de ordenadas Función par f(-x) = f(x)
Respecto al origen de coordenadas Función impar f(-x) = - f(x)

7 La gráfica de la función “se repite”
PERIODICIDAD La gráfica de la función “se repite” f(x+T) = f(x)

8 continuidad Decimos que f(x) es continua si la gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel. discontinua en x0 = 1 Formalmente f(x) es contª en x0 si Tipos de discontinuidad: evitable si - Salto finito si - Salto infinito si no existe un limite lateral o es ±∞

9 ASÍNTOTAS Def: Son rectas a las cuales la función se acerca sin llegar a tocar. Pueden ser: - verticales x = b donde b es un valor excluido del dominio Además - horizontales y = a donde - oblicuas y = mx + n donde Asíntota vertical en x= 2 A. Horizontal en y =-3 cuando A. Oblicua en y = mx + n cuando

10 MONOTONÍA f(x) es creciente en I=(a,b) si Además f’(x) > 0 para cualquier valor del intervalo I. f(x) decrece en I =(a,b) si Además f’(x) < 0 para cualquier valor del intervalo I.

11 EXTREMOS RELATIVOS Además se cumple f´(x0) = 0 y f´´(x0) > 0
X0 es un máximo relativo si se cumple f(x0) > f(x) Además se cumple f´(x0) = 0 y f´´(x0) < 0 X0 es un mínimo relativo si se cumple f(x0) < f(x) Además se cumple f´(x0) = 0 y f´´(x0) > 0 Un entorno de centro x0 y radio δ es un intervalo

12 CURVATURA (tomando como referencia el semieje negativo de ordenadas)
CONVEXIDAD f(x) es convexa en un punto a si la tangente a la curva en él (punto) queda por debajo de ella (curva). Se cumple que f’’(a) > 0 CONCAVIDAD f(x) es cóncava en un punto b si la tangente a la curva en él (punto) queda por encima de ella (curva). Se cumple que f’’(b) < 0

13 Puntos de inflexión Son aquellos puntos x0 en los que cambia la curvatura, es decir la segunda derivada cambia de signo. Por tanto, se cumple f’’(x0) = 0 y f’’’(x0) ≠ 0 Además, en estos puntos las recta tangente corta a la gráfica

14 Función Polinómica Es del tipo f(x) = an xn + an-1 xn-1+ … + a1 x + a0
Su dominio es todo R Su recorrido es todo R si n impar es [k,+∞) si n par y an > 0 es (-∞,k] si n par y an < 0 Es continua

15 Función racional Es del tipo . Dom f(x) =
Estudiamos cuando gr P(x) = gr Q(x) = 1. Dividimos y expresamos La gráfica es una hipérbola: Asíntota vertical x = a Asíntota horizontal y = b Creciente si k < 0 decreciente si k > 0

16 FUNCIÓN IRRACIONAL Es del tipo Dom f(x) = R si n impar Dom f(x) = si n par

17 Función exponencial Es del tipo f(x) = ax con a > 0 Su dominio es R
Su recorrido es (0,+∞) Pasa por el punto (0,1) Es continua Asíntota horizontal y = 0 Es creciente si a > 1 Es decreciente si 0 < a < 1 Es cóncava siempre Conoce y traslada

18 Función logarítmica Es del tipo f(x) = loga x con a > 0
Su dominio es (0,+∞) Su recorrido es todo R Pasa por el punto (1,0) Es continua Asíntota vertical x = 0 Es creciente y convexa si a > 1 Es decreciente y cóncava si 0 < a < 1

19 Funciones trigonométricas
f(x) = v + K·sen a(x-h) Desplazamiento horizontal h unidades a la derecha Desplazamiento vertical de v unidades K modifica la amplitud de la onda y a la longitud de la onda. Ahora tú: juega con f(x) = v + K·sen a(x-h)

20 FUNCIONES DEFINIDAS A INTERVALOS
Varía la expresión algebraica de la función según el dominio de definición f(x) = 𝑓 1 (𝑥),𝑥∈ 𝐼 1 ………….. 𝑓 𝑛 (𝑥),𝑥∈ 𝐼 𝑛 Representa en wiris tu propia función. Si tienes dudas Algunos ejemplos

21 OPERACIONES CON FUNCIONES
Se cumple (f±g)(x) = f(x) ± g(x) También (f·g)(x) = f(x)·g(x) y (f/g)(x) = f(x)/g(x) Composición (f◦g)(x) = f(g(x)) No cumple la propiedad conmutativa, es decir, (f◦g)(x) ≠ (g◦f)(x) Función inversa: dada f(x), la inversa cumple que la composición de ambas en la función identidad (f◦f-1)(x) = (f-1 ◦f)(x) = i(x) = x Las gráficas de funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.