Unidad 4 Capítulo VI Reducción del orden
Se sabe que Cy1, donde C es constante, también lo es. U-4. Cap. VI. Reducción del orden Previo a la solución de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, es necesario considerar otro aspecto: la reducción de orden de una ecuación de segundo orden a otra de primero, cuando se conoce una de sus soluciones. Definido por Jean d’Alembert y denominado reducción del orden, el método se desarrolla a continuación: Sea y1 una solución no trivial (y1 ≠ 0) de la ecuación lineal homogénea de segundo orden: Se sabe que Cy1, donde C es constante, también lo es.
Sustituyendo en la ecuación diferencial y reordenando: U-4. Cap. VI. Reducción del orden Una segunda solución linealmente independiente de y1, se obtiene postulando la existencia de una función v = v(x) tal que la expresión y2 = vy1 también sea solución (note que el cociente de ambas no es una constante). Por tanto, encontrar v equivale a obtener la 2ª solución linealmente independiente de la ecuación diferencial dada. Así: Sustituyendo en la ecuación diferencial y reordenando: en donde:
Al dividir los términos restantes entre y1: U-4. Cap. VI. Reducción del orden Al dividir los términos restantes entre y1: y haciendo w = v’, con lo que w’ = v’’ se obtiene: una ecuación lineal de primer orden cuya solución es:
U-4. Cap. VI. Reducción del orden Si la constante C es absorbida por la solución general, al integrar w se tiene: por tanto y2 = vy1, con lo que la solución general se puede expresar en la forma: Observe que este método no es absoluto para resolver ecuaciones diferenciales, ya que se requiere conocer una de sus soluciones o que la ecuación no incluya el término q(x)y.
y sustituyendo en la ecuación diferencial: U-4. Cap. VI. Reducción del orden Ejemplo: Si se sabe que y1 = x2 es una solución de la ecuación diferencial: encuentre una 2ª solución linealmente independiente por el método de reducción de orden en el intervalo x > 0. Solución: la segunda solución linealmente independiente tiene la forma y2 = vy1 = vx2, así: y sustituyendo en la ecuación diferencial:
por lo tanto, la solución general es: U-4. Cap. VI. Reducción del orden se obtiene: y haciendo: La función w se determina resolviendo la ecuación de 1er orden anterior (con C = 1): de manera que: y así: por lo tanto, la solución general es: