GEOMETRÍA ANALÍTICA U. D. 9 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

OPERACIONES CON VECTORES LIBRES U. D. 9.2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

SUMA ANALÍTICA DE VECTORES SUMA DE VECTORES Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d) La suma será: S = v+u = (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7) La suma será: S = (3+2, 4+7) = (5, 9) EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7) La suma será: S = (-3+5, 2 - 7) = (2, - 5) EJEMPLO_3 Sea el vector v =(7, 4) y el vector u =(7, - 4) La suma será: S = (7+7, 4 - 4) = (14, 0)  Vector horizontal @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES Se lleva a continuación de uno cualquiera el otro, de forma que la suma es el vector que tiene: Como principio o punto de aplicación, el del primer vector; como final el final del segundo vector. El segundo vector, u, actúa como vector libre al desplazarse paralelamente a sí mismo para sumarse con el primer vector v. u =(5, 0) u =(5, 0) v =(5,3) S=(10,3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

SUMA ANALÍTICA DE VECTORES Para sumar más de dos vectores se lleva a continuación de uno cualquiera otro, y a continuación del segundo el tercer vector. El segundo vector, u, al igual que el tercero, w, actúan como vectores libres al desplazarse paralelamente a sí mismos para sumarse con el primer vector v. w =(-2, 2) u =(3, 0) w =(-2, 2) v =(5, 3) u =(3, 0) S=(6, 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL El producto de un número real, k, no nulo por el vector libre v, es otro vector caracterizado por: Tener la misma dirección de v. Su módulo es k veces el módulo de v. El sentido el mismo que v si k es positivo, y sentido opuesto al de v si k es negativo. Ejemplo: Sea k=2 y v=(3,2) 2.v =(2.3, 2.2) = (6, 4) Ejemplo: Sea k= - 3 y u=(1,1) v =(3,2) (- 3).u =(´-3.1, -3.1) = (- 3, - 3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

COMBINACIÓN LINEAL Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d) Ambos vectores están expresados por sus coordenadas cartesianas. Las coordenadas a y c, corresponden al eje OX. Las coordenadas b y d, corresponden al eje OY. También se denota un vector de la forma: v = a.i + b.j , u = c.i + d.j Siendo i y j vectores unitarios, de módulo la unidad, en los ejes OX y OY. Cualquier otro vector, w, del plano se podrá conseguir mediante la combinación de los dos primeros vectores, siempre que v y u sean vectores linealmente independientes. Si u = k.v , siendo k un número real, u y v son linealmente dependientes. Es decir, siempre habrá un par de números, k y h, tal que: w=k.(a, b) + h.(c, d) Puesto de otra manera: w=k.(ai + bj) + h.(ci + dj) = k.ai + k.bj + h.ci + h.dj = = (k.a + h.c)i + (k.b + h.d)j @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 1 EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) , el vector u= (2, 1) y el vector w=(5, 10) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (5, 10) = a.(3, 4) + b.(2, 1) (5, 10) = (3a, 4a) + (2b, b) (5, 10) = (3a + 2b, 4a + b) 3.a + 2.b = 5 4.a + b = 10 Por Reducción: - 5.a = - 15  a = 3  b = -2 w =(5, 10) 3.v v =(3, 4) u =(2, 1) -2u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 2 EJEMPLO_2 Sea el vector v= (0, 4) , el vector u= (5, 0) y el vector w=(3, 6) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (3, 6) = a.(0, 4) + b.(5, 0) (3, 6) = (0.a, 4.a) + (5.b, 0.b) (3, 6) = (0, 4.a) + (5.b, 0) 0 + 5.b = 3 4.a + 0 = 6 b = 3/5 = 0,6 , a = 6/4 = 1,5 1,5.v w =(3, 6) v =(0, 4) 0,6u u =(5, 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 3 EJEMPLO_3 Sea el vector v= (-3, 4) , el vector u= (2, -3) y el vector w=(5, 5) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (5, 5) = a.(-3, 4) + b.(2, -3) (5, 5) = (-3a, 4a) + (2b, -3b) (5, 5) = (-3a + 2b, 4a – 3b) -3.a + 2.b = 5 4.a – 3b = 5 Por Reducción: -12.a + 8.b = 20 12.a – 9b = 15 Sumando ambas: - b = 35  a = (15 + 9b)/12 = -300/12= - 25 a = – 25 , b = – 35 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.