@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 REPASO DE 1º BCT TEMA 2.0 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 REPASO DE 1º BCT TEMA 2.0 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 VECTORES LIBRES Un vector libre es cada una de las clases en que queda clasificado el conjunto de los vectores fijos mediante la relación de equipolencia. Dicha relación es de equivalencia al cumplir las propiedades: Reflexiva: Todo vector fijo es equipolente a si mismo. Simétrica: Si un vector fijo es equipolente a otro, éste es equipolente al primero. Transitiva: Si un vector fijo es equipolente a un segundo, y éste es equipolente a un tercero, el primero es equipolente al tercero. C v v v v v

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d) Cualquier otro vector, w, del plano se podrá conseguir mediante la combinación de los dos primeros vectores. Es decir, siempre habrá un par de números, k y h, tal que: w=k.(a, b) + h.(c, d) Se dice entonces que w depende linealmente de v y u. También que w es combinación lineal de u y v. EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4), el vector u= (2, 1) y el vector w=(5, 10) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (5, 10) = a.(3, 4) + b.(2, 1) (5, 10) = (3a, 4a) + (2b, b) (5, 10) = (3a + 2b, 4a + b) 3.a + 2.b = 5 4.a + b = 10Por Reducción: - 5.a = - 15  a = 3  b = -2 COMBINACIÓN LINEAL

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 NOMENCLATURA El conjunto de todos los puntos del plano es R 2 El conjunto de todos los vectores fijos del plano es F 2 El conjunto de todos los vectores libres del plano es V 2 V 2 es un subconjunto de F 2 BASE CANÓNICA Base canónica de V 2 es el conjunto formado por dos vectores perpendiculares de módulo la unidad, que representamos por B=(i, j), es decir i=(1, 0), j=(0, 1) COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE Sea B=(i, j) una base canónica del plano y u un vector cualquiera de V 2, se llaman coordenadas cartesianas del vector u al par de números (x, y) tales que permiten expresar al vector u como combinación lineal de los vectores de la base e forma: u=xi+yj

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 Coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas en V 2 está formado por: Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX. El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY. La unidad del eje de abscisas es el vector i. La unidad del eje de ordenadas es el vector j. La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del vector. La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del vector. u i j x y u = xi + yj

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 SUMA DE VECTORES Sea el vector v= (x,y) y el vector u= (x’,y’) La suma será: S = v+u = (x,y)+(x’,y’) = (x+x’, y+y’) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7) La suma será: S = (3+2, 4+7) = (5, 9) EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7) La suma será: S = (-3+5, 2 - 7) = (2, - 5) PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR Sea el vector v= (x,y) y el número real k K.u = k(x, y) = (kx, ky) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (2, - 4) y k = 3 k.v = 3.(2, - 4) = (6, - 12 OPERACIONES CON VECTORES

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 MÓDULO Y ARGUMENTO MÓDULO Módulo de un vector u, |u|, es su longitud. |u|=√(x 2 +y 2 ) ARGUMENTO Argumento de un vector u, α, es el menor de los ángulos que forma con el eje positivo de abscisas. arg(u) = α = arctg (y/x) i j xi yj u |u|=√(x 2 +y 2 ) α = arctg (y/x)

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.8 NOMENCLATURA Sea u un vector libre en V 2. Y sea P cualquier punto en R 2 Ya hemos dicho que existe un único representante de u con origen en P. Sea O un punto fijo del plano llamado origen de coordenadas. CORRESPONDENCIA A cada punto P del plano se le hace corresponder de modo único un vector u = OP, que llamamos vector de posición. A cada vector u del plano, en V 2, se le hace corresponder de modo único punto P, de forma que OP=u SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO Se llama sistema de referencia euclídeo del plano a R=(O, i, j) donde: O es un punto cualquiera llamado origen de coordenadas. B=(i, j) es la base canónica de V 2. También se llama se llaman sistema de referencia ortonormal.