@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 9 * 4º ESO E. AC. GEOMETRÍA ANALÍTICA.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 9 * 4º ESO E. AC. GEOMETRÍA ANALÍTICA

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 9.1 * 4º ESO E. AC. VECTORES EN EL PLANO

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 Coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por: Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX. El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY. Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(x,y). La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del punto. La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del punto.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 Cuadrantes A(4, 3) B(- 4, 1) C(- 2, - 2) D(3, -1) Primer cuadrante. Abscisa (4) y ordenada (3) positivas Segundo cuadrante. Abscisa (- 4) negativa y ordenada (1) positiva. Tercer cuadrante. Abscisa (- 2) y ordenada (- 2) negativas Cuarto cuadrante. Abscisa (3) positiva y ordenada (- 1) negativa. Y X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 VECTORES FIJOS Un VECTOR en una entidad geométrica, un segmento, caracterizada por: Punto de aplicación, A, dado por unas coordenadas. Dirección, que es la recta sobre la que se apoya. Sentido, que es el indicado por la flecha del vector. Módulo o intensidad, que es la medida desde el origen A al extremo B. Vector v = AB A = Punto de aplicación Dirección La flecha del vector indica su sentido. Módulo = |v| B Nota: Se permite formalmente que, en lugar de una flecha sobre el nombre del vector, baste señalar dicho nombre en negrilla.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Un vector fijo es un segmento orientado, de origen el punto A y extremo el punto B. v u w z t Ejemplo de cinco vectores diferentes: u, v, w, s, y t VECTORES FIJOS

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 z =( 2, -3) v =(5,3) u = (5, 0) w =(0, 2) t = (- 4, 1) Coordenadas de un vector Sea el vector AB = (a, b) Un vector en el plano viene dado por dos coordenadas, a y b, una con respecto al Eje X y otra con respecto al Eje Y respectivamente. Indican el desplazamiento del punto A de aplicación al punto B o extremo, de a unidades en horizontal y b unidades en vertical.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 Dos ejemplos de Coordenadas de un vector Sea el vector AB = (a, b) Las coordenadas a y b de un vector son la diferencia de coordenadas de los puntos B (extremo) y A (de aplicación). Sean los puntos A(x 1, y 1 ) y B(x 2, y 2 ) Entonces, por lo dicho: a = x 2 - x 1 ; b = y 2 - y 1 z =( 2, -3) v =(4,2) A(4, 3) B(8, 5) Ejemplo 1 v = B – A = (8, 5) – (4, 3) = = (8 – 4, 5 – 3) = (4, 2) A(11, 6) B(13, 3) Ejemplo 2 z = B – A = (13, 3) – (11, 6) = = (13 – 11, 3 – 6) = (2, - 3)

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 v=(- 2, 2) Un vector con origen o punto de aplicación en el origen de coordenadas (0,0) y extremo un punto P(a,b) cualquiera del plano, se llama vector de posición del punto P. Las coordenadas a y b de dicho vector son las mismas que las del punto P. C (- 4, - 1) A(4, 3) B(- 2, 2) O(0, 0) D(5, 0) x y u=(4, 3) w =(- 4, - 1) z =(5, 0) VECTOR DE POSICIÓN

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 VECTORES LIBRES Un VECTOR en una entidad geométrica, un segmento, caracterizada por: Punto de aplicación, Dirección, Sentido y Módulo o intensidad. Si al segmento le quitamos su punto de aplicación, A, se podrá mover libremente (desplazarse) sobre la recta que forma la Dirección. Si además le permitimos desplazarse paralelamente a su Dirección, podrá ocupar todo el plano. El vector tendrá una libertad de movimientos muy grande, aunque no podrá girar. Debido a dicha libertad de movimientos se denomina vector libre. A Dirección Sentido. Módulo = |v| B

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC. 11 Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, direcciones paralelas y sentido. AB CD Los vectores AB y CD son equipolentes. Igual que EF y GH. Y lo mismo con MN y PQ. Dos vectores equipolentes siempre forman un paralelogramo. El conjunto de vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. A B C D EF GH F H E G PQ MN M P N Q Vector equipolente

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.12 Ejemplo 1 Sea el vector fijo v=AB, donde A=(4, 4) y B=(8,10) Hallar un vector equipolente a v y cuyo punto de aplicación sea C(0, 0). v=(8-4, 10-4) =(4,6) El vector equipolente w debe ser w(4,6) v=AB w 0 4 8 4 6 A B Ejemplo 1

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.13 Ejemplo 2 Sea el vector fijo v=AB, donde A=(-2, 3) y B=(8,-4) Hallar un vector equipolente a v y cuyo punto de aplicación sea C(2, - 1). v=(8-(-2), -4-3) =(10, -7) El vector equipolente w debe ser w(10, -7) El extremo del vector w será: D=(2+10, -1-7) = (12, -8) v=AB w -2 0 4 8 3 A B -4 Ejemplo 2