CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q  P Recta secante Cuerda PQ Radio Arco BQ A B  Diámetro AB ( ) Centro T  Punto de tangencia Recta tangente

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q M N R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. B C D

Las cuerdas equidistan del centro 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentes Arcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. R r d = Cero ; d : distancia

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. Distancia entre los centros (d) d > R + r

03. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + r

04. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R - r d: Distancia entre los centros

R r ( R – r ) < d < ( R + r ) 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) ( R – r ) < d < ( R + r )

06. - CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. R r Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d d < R - r d: Distancia entre los centros

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A B R  P AP = PB

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes B R r C D AB = CD

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. B R C D r AB = CD

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) b a r R c TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a b c Inradio r Circunradio R a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. d a b c Cuadrilátero circunscrito a + c = b + d

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. - MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A B C r   = mAB

2. - MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos B D A C 

3. - MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B C 

4. - MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A B C 

1. - MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A B C 

  + mAB = 180° 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: A C O B a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A B C O   + mAB = 180°

b. - Ángulo formado por dos rectas secantes b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. A B C O D 

c. - Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A B C O 

PROBLEMAS RESUELTOS

Resolviendo la ecuación: Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x Se traza la cuerda SQ Q P Reemplazando: R S 70º+x 50° 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° X Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS PSQ = x m  S = 70º R Q Por ángulo inscrito mQR = 140° H S 70° 140° Es propiedad, que: X P 20° 140° + X = 180° Resolviendo: X = 40°

Medida del ángulo interior Medida del ángulo exterior Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior APD = x A C B D mBC = 50° Medida del ángulo exterior 130° 50° x P Resolviendo: X = 40°

Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x M N Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles 54° Ángulo central igual al arco o x x A B x P Medida del ángulo exterior Resolviendo: X = 18°

Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: A B C PRQ = x 70° 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 110° P Q R Medida del ángulo inscrito: x Resolviendo: X = 55°

Problema Nº 06 A 70° X P B Resolución Calcule la medida del ángulo “X”. 70° B A X P Resolución

X = 40º RESOLUCIÓN A C 70° 140º X P B mAB=140º 140º + x = 180º Medida del ángulo inscrito: mAB=140º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 40º 140º + x = 180º Resolviendo:

Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x” B A X P 130º Resolución

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: B A X P 130º C RESOLUCIÓN 260º Medida del ángulo inscrito: mAB = 260º En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mACB = 100º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: mACB + x = 100º X = 80º

Problema Nº 08 2 B A C 5 Resolución Calcule el perímetro del triángulo ABC. 2 5 A B C Resolución

a b 2 (1) (2) RESOLUCIÓN B A C 5 (2p) = 24 Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) (1) a + b = 14 (2) Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10

Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR . PLANTEAMIENTO Q a P 80º X R S Resolución

RESOLUCIÓN X Q R S 80º P a En la circunferencia: 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º

Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR P Q R S PLANTEAMIENTO 3 2 Resolución

RESOLUCIÓN Dato: a a + b + c + d = 22cm b c d Teorema de Poncelet: Q R S 2 3 RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm a b c d Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) + PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm