Matemática IV Matemática Numérica Dr. Manuel Álvarez Blanco manuel@ind.cujae.edu.cu

Clase 1 Los errores y su medida

Pasos en la solución de un problema Situación natural Modelo matemático Método computacional cómputo Medio de Datos Resultado

Fuentes de error Situación natural Modelo matemático Método Errores de modelación Modelo matemático Método computacional cómputo Medio de Datos Resultado

Fuentes de error Situación natural Modelo matemático Método Errores de truncamiento Método computacional cómputo Medio de Datos Resultado

Fuentes de error Situación natural Modelo matemático Método computacional Errores medición de cómputo Medio de Datos Resultado

Fuentes de error Situación natural Modelo matemático Método Equivo- caciones Método computacional cómputo Medio de Datos Resultado

Fuentes de error Situación natural Modelo matemático Método computacional Errores de cómputo Medio de redondeo Datos Resultado

Fuentes de error Errores de modelación Inherentes Errores de truncamiento Errores de medición Inherentes Equivocaciones Errores de redondeo

Métodos numéricos Generales Eficientes Fáciles de programar No necesariamente exactos

Medidas del error Un número exacto x* Un número aproximado a x* x Error de x Error absoluto de x Error relativo de x Error absoluto máximo de x Error relativo máximo de x

Medidas del error Un número exacto x* Un número aproximado a x* x Error de x

Medidas del error Un número exacto x* Un número aproximado a x* x Error absoluto de x

Medidas del error Un número exacto x* Un número aproximado a x* x Error relativo de x

Medidas del error Un número exacto x* Un número aproximado a x* x Error absoluto máximo de x Cualquier número Em(x) tal que

Medidas del error Un número exacto x* Un número aproximado a x* x Error relativo máximo de x Cualquier número em(x) tal que

Ejemplo Arquímedes demostró que el número exacto x* =  satisface: con esta información, halle una aproximación a de  con el menor error absoluto máximo posible.

Ejemplo Arquímedes demostró que el número exacto x* =  satisface: con esta información, halle una aproximación a de  con el menor error absoluto máximo posible.

Ejemplo Em(x1) x1 3,14085 3,14286

Ejemplo Em(x2) x2 3,14085 3,14286

Ejemplo = 3,14186 Em(xa) xa 3,14085 3,14286 = 0,001

Relación entre Em(x) y em(x)

Ejemplo Un voltímetro posee un error menor que 1 %. Si el voltímetro marca 124 v ¿Entre qué valores se halla el voltaje verdadero? em(x) = 0,01 = (124)(0,01) = 1,24 v

Ejemplo Em(x) = 1,24 v - 1,24  error(x)  1,24 - 1,24  x* - 124  1,24 124 - 1,24  x*  124 + 1,24 122,76 v  x*  125,24 v x* = 124  1,24 v

Sistema de numeración posicional 7 348,064 3 2 1 -1 -2 -3 posición:

Valor posicional de un dígito El valor posicional del dígito d en la posición k se denota p(d) y se define como: p(d) = 10k 7 348,064 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 valor posicional:

Valor posicional de un dígito El valor posicional del dígito d en la posición k se denota p(d) y se define como: p(d) = 10k 7 348,064 Número = 7p(7) + 3p(3) + 4p(4) + 8p(8) + 0p(0) + 6p(6) + 4p(4)

Cifras significativas Cuando un dígito 0 se incluye en un número con el único propósito de ocupar una posición dentro del número, ese dígito se llama cero no significativo. En los demás casos se dice que el cero es significativo. Todos los dígitos que no son ceros son significativos.

Ejemplo 0,007 480 0 Ceros no significativos Cifras significativas

Dependencia del contexto Ayer desfilaron 1 000 000 de personas Ceros no significativos Ayer arribó al país el turista número 1 000 000 Ceros significativos

La notación científica 0,007 480 7,480  10-3 1 000 000 1,0 106 Permite representar brevemente números muy grandes o muy pequeños. No deja dudas acerca de las cifras significativas.

Cifra exacta Un dígito d de un número x se dice que es un dígito exacto o una cifra exacta si el error absoluto de x es menor o igual que la mitad del valor posicional de d.

Ejemplo x* = 12,38512 x = 12,38475 No exactas E(x) = 0,00037 5 0,5 0,05 0,005 0,0005 0,00005 < E(x)

Ejemplo Exactas x = 325,8723184 Dudosas Em(x) = 0,0004 = 0,0005 > E(x) = 0,00005

Cantidad de cifras exactas La cantidad de cifras exactas de un número aproximado es la cantidad de dígitos significativos exactos de dicho número.

Cifras decimales exactas La cantidad de cifras decimales exactas de un número aproximado es la cantidad de cifras exactas que están después de la coma decimal.

Ejemplos 5,07834 Exactas 4 cifras exactas 3 cifras decimales exactas

Ejemplos 0,00042532 Exactas 3 cifras exactas 6 cifras decimales exactas

Ejemplos 423558 Exactas 4 cifras exactas 0 cifras decimales exactas

Ejemplos 525,4824 Exactas 5 cifras exactas 2 cifras decimales exactas

Redondeo Redondear un número es sustituirlo por otro número que posea menos cifras significativas. 3,1415926 3,1416 5,6666666 5,667 0,4354765 0,435

Redondeo de números exactos Cuando se redondea un número exacto, el número aproximado que resulta tiene todas sus cifras exactas 3,1415926... 3,1416

Para números aproximados Cuando se redondea un número aproximado, el error de redondeo puede añadirse al error que contenía el número. x* = 3,1415926... x = 3,1413654234 3,141 Exactas Exactas

Regla práctica Cuando redondee números aproximados, conserve una o dos de sus cifras no exactas o dudosas. x* = 3,1415926... x = 3,1413654234 3,1414 Exactas Exactas

Errores y cifras exactas El error absoluto máximo de un numero determina las cifras decimales exactas y viceversa. Cifras decimales exactas Error absoluto máximo 2 0,005 3 0,0005 4 0,00005

Errores y cifras exactas El error relativo máximo de un numero determina las cifras exactas y viceversa. x: k cifras exactas x = m10q m : k-1 cifras decimales exactas

Errores y cifras exactas x = m10q

Ejemplo 58300 x1 = 5,83 x2 = 0,00583 x3 = em(x1) = 0,00086 Em(x1) = 50 Em(x2) = 0,005 em(x2) = 0,00086 Em(x3) = 0,000 005 em(x3) = 0,00086

Bibliografía Texto: Secciones 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

Ejercicios recomendados Sección 1.2: 2, 3 y 7 Sección 1.3: 4, 6, 11 y 12 Sección 1.4: 1, 2, 4 y 5

Conferencia 18 Series de Fourier