Propagación de los errores Tele clase 2 Propagación de los errores

Los números en la computadora Un número n bits 2n posibilidades Los conjuntos numéricos que utiliza cualquier computadora son finitos y, por lo tanto, acotados.

Representación de enteros Cantidad de bits por número Rango de valores 8 0 a 255 - 128 a 127 0 a 65 535 16 - 32 768 a 32 767 32 0 a 4294967295 - 2147483648 a 2147483647

Representación de reales x = m2 k q bits n bits Los números reales que se pueden representar son siempre racionales. Qc

Representación de reales x = m2 k q bits n bits 2n números entre 2 y 4 entre 4 y 8 entre 8 y 16 entre 1024 y 2048

Representación de reales x = m2 k q bits n bits Están mas densamente distribuidos a medida que se acercan a cero.

Distribución de Qc - Qmin - Qmax Qmin Qc R Qmax

Operaciones en Qc Debido al carácter discreto de Qc Es necesario realizar frecuentes redondeos La suma y el producto no son exactamente asociativos El producto no es exactamente distributivo respecto a la suma

Propagación del error R* = f(x*, y*) R = f(x, y) Incremento error(R) = R* – R error(R) = f(x*, y*) – f(x, y)  fx(x*, y*)(x* - x) + fy(x*, y*)(y* - y) error(x) error(y) Diferencial

Propagación del error error(R) = fx(x*, y*)error(x)+ fy(x*, y*)error(y) = fx(x, y)error(x)+ fy(x, y)error(y)

Fórmula general de propagación R = f(x, y) Si entonces

Propagación del error en sumas R = f(x, y) Si entonces R = x + y Si entonces

Ejemplo Se necesita colocar una resistencia de 100 k en un circuito. Como se terminaron las de ese valor, se colocarán en serie una de 47 k, otra de 33 k y otra de 20 k. Si la primera tiene un error relativo de 5% y las otras dos del 1%, halle entre qué valores se encontrará la resistencia total.

Ejemplo S = a + b + c a = 47  5% b = 33  1% c = 20  1% Em(a) = a em(a) = 470,05 = 2,35 Em(b) = b em(b) = 330,01 = 0,33 Em(c) = c em(c) = 200,01 = 0,20 Em(S) = Em(a) + Em(b) + Em(c) Em(S) = 2,68 k 97,3  S  102,7

Propagación del error en productos R = f(x, y) Si entonces R = xy Si entonces

Propagación del error en productos Si k es exacto:

Propagación del error en cocientes R = f(x, y) Si entonces R = x/y Si entonces

Propagación del error en cocientes

En resumen

Ejemplo Se requiere calcular el valor de a partir de los valores aproximados x = 6,78; y = 2,64; z = 4,83 todos con sus cifras exactas. Halle el error absoluto máximo de w e indique sus cifras exactas.

Solución Valor E. Absoluto E. Relativo x = 6,78 0,005 0,00074 y = 2,64 0,005 0,0019 xy = 17,899 0,0049 0,0027 z = 4,83 0,005 xy + z = 22,729 0,0099 0,00044 x – y = 4,14 0,01 0,00025 w = 5,490 0,0038 0,00069

Respuesta = 5,490 Em(w) = 0,0038 w posee dos cifras decimales exactas

Problema estable Es aquel en el cual, pequeños cambios en los datos producen pequeños cambios en los resultados

Problema inestable Es aquel en el cual, pequeños cambios en los datos pueden causar grandes cambios en los resultados

Ejemplo P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3) ... (x -10) = = x10 – 55 x9 + 1320 x8 – 18150 x7 + 157773x6 – 902055 x5 + 3416930 x4 + 8409500 x3 + 12753576 x2 – + 10628640 x + 3628800

Ejemplo Q(x) = 55,001 = x10 – 55 x9 + 1320 x8 – 18150 x7 + 157773x6 – 902055 x5 + 3416930 x4 + 8409500 x3 + 12753576 x2 – + 10628640 x + 3628800

Gráfica de P(x)

Gráfica de Q(x)

Pérdida de significación d = x – y Em(d) = Em(x) + Em(y) Si x  y se produce pérdida de significación

Ejemplo Se conocen los datos: x = 6,23584 y = 6,23552 con error relativo máximo de 0,1 % Halle el error relativo máximo de z = x – y

Solución x = 6,23584 y = 6,23552 Em(x) = 0,0063 Em(y) = 0,0063 z = x – y = 0,00032 Em(z) = 0,013 = 41 = 4100 %

Métodos inestables A veces un problema estable se se sustituye por otro problema equivalente que resulta inestable. En ese caso se dice que el método es inestable.

Ejemplo Método inestable d = d1 - d2 d1 d d2

Bibliografía Texto: Secciones 1.5, 1.6, 1.7

Ejercicios recomendados Sección 1.5: 2, 3 y 7 Sección 1.3: 4, 6, 11 y 12 Sección 1.4: 1, 2, 4 y 5