Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro González

Serie trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + ... + b1sen(w0t) + b2sen(2w0t) + ... Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.

Ortogonalidad Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen: Ejemplo: Demostrar que las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p < t <p:

Funciones Pares e Impares Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir f(t) = f(-t) una función es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, -f(t) = f(-t)

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?

La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T: La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es: 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1 w0= 2p/T

Coeficiente a0:

Coeficientes an:

Coeficientes bn:

Finalmente, la serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0 = p (w0= 2p/T), es decir, T = 2:

Componentes de la Serie de Fourier -1 -0.5 0.5 1 -1.5 1.5 Componentes de la Serie de Fourier t Componentes Suma fundamental tercer armónico quinto armónico séptimo armónico Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.

los coeficientes para: f(t) Habíamos calculado los coeficientes para: 1 t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1 Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos: 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1

para cualquier intervalo de longitud el periodo f(t) De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo: 1 t -1 . . . t0 t0 +T . . .

Actividad 1 Calcular la serie de Fourier de la función periódica:

Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que: Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n. Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado: Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1

Simetría de media onda Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo: f(t) t

Simetrías y Coeficientes de Fourier Funciones en la serie Ninguna senos y cosenos Par bn= 0 únicamente cosenos Impar an= 0 únicamente senos Media onda Senos y cosenos impares

Actividad 2

Forma compleja de la serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2p/w0. Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

Sustituyendo: Y usando el hecho de que 1/i = -i: Y definiendo:

A la expresión obtenida se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: Para n = 0, 1, 2, 3, ...

Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada: Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1

Entonces la serie compleja de Fourier queda:

Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:

Como w0T = 2p y : que coincide con el resultado ya obtenido.

Actividad 3 Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside, usando la forma compleja,

La función impulso o delta de Dirac d(t) d(t) f3(t) f2(t) f1(t) t Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:

Propiedades de la función d t d(t)

Calcular la serie de Fourier de d(x):

Calcular la serie de Fourier de d(x): Para todas las x ≠ 0 la función delta vale 0