Transformada de Laplace. Propiedad de Linealidad La diferenciación o Integración transforman una función en otra. Por ejemplo: f(x) = x 2 Por Diferenciación.

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1 Transformada de Laplace

2 Propiedad de Linealidad La diferenciación o Integración transforman una función en otra. Por ejemplo: f(x) = x 2 Por Diferenciación Por Integración Por Integración Definida Función Lineal Familia de funciones polinomiales cúbicas Constante

3 Propiedad de Linealidad Las tres operaciones poseen la Propiedad de Linealidad, es decir que para las constantes α y β Por Diferenciación Por Integración Por Integración Definida

4 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

5 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

6 Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f con respecto a una de sus variables nos lleva a una función de la otra variable. Por ejemplo manteniendo y constante, vemos que :

7 Similarmente si f(t) es definida para t ≥ 0, entonces la integral impropia (1) Si el lmite de (1) existe, entonces decimos que la integral es convergente ; si el lmite no existe, entonces la integral no existe y es divergente. El lmite de (1) existira para ciertos valores de s.

8 La función K ( s, t ) en (1) es llamada el Kernel de la transformación. La elección K ( s, t ) = e -st como Kernel nos proporciona una transformada integral importante Definición (Transformada de Laplace) Sea f una función definida para t ≥ 0 entonces la integral se le llama la transformación (o transformada) de Laplace de f, siempre y cuando la integral sea convergente.

9 En general usaremos una letra minúscula para denotar la función a la que se aplica la transformada y usaremos una letra mayúscula para denotar su función transformada. Por ejemplo

10 Ejemplo Evaluar la siguientes transformadas Siempre que s > 0. Pues si s > 0, -sb es negativo y e -sb  0 cuando b . La integral diverge si s < 0. Equivalentemente podemos usar la notacion

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14 Evaluar: Seno (0) = 0 e tiende al infinito negativo = 0 Evaluar: coseno (0) = 1 e tiende al infinito negativo = 0

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16 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

17 Propiedad de Linealidad Laplace

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20 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

21 Condiciones de existencia

22 Condiciones de suficiencia

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29 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

30 EL PROBLEMA INVERSO

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34 Ejemplo. (Hallar las siguientes transformadas inversas)

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37 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

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39 Necesitamos un voluntario

40 Para S = 1 Cuanto debe valer para hacer denomidador cero

41 Para S = 2 Para S = -4

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43 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

44 En la descripción siguiente presentaremos varios teoremas que ahorran trabajo, sin necesidad de recurrir a la definición de la transformada de Laplace.

45 Primer teorema de traslación

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47 Forma Inversa del primer teorema de traslación

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50 Función de escalón Unitario En ingenieria se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar “encendidas” o “apagadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecanico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar despues de cierto tiempo. Por ello, conviene definir una funcion especial, llamada funcion escalon unitario o HEAVISIDE.

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58 Segundo teorema de traslación

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60 Forma Inversa del segundo teorema de traslación

61 Derivadas de transformadas Si y n = 1,2,3….. Ejemplo: Evalue n=1 f(t)=e 3t

62 Evaluar : n=2 f(t)=sen(t) L{sen (at)}=__a__ /s 2 +a 2 Primera Derivada 1/a = a -1 u= s 2 +1 f=u -1 df(u) = df * du dx du dx f’(g+h)= f’(g) +f’(h)

63 Segunda Derivada 1/a = a -1 u= s 2 +1 f=u -1 df(u) = df * du dx du dx f’(g+h)= f’(g) +f’(h)

64 Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

65 Transformadas de derivadas

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69 Teorema de la Convolución Si f(t) y g(t) son continuas por tramos en [0,∞) y de orden exponencial, L {f *g} = L{f(t)} * L{g(t)} = F(s)G(s)

70 Ejemplo: Evalué Si f(t)= e τ y g(t)= sen t, el teorema de la convolución establece que la transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas

71 Forma inversa del teorema de Convolución La transformada inversa de Laplace es un producto de dos trasformadas de Laplace L -1 {F(s)G(s)} = f * g

72 Transformada de una integral Cuando g(t) = 1 y L{g(t)} = G(s) = 1/s, el teorema de la convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es La forma inversa de esta ecuacion,

73 Se puede usar en algunas ocasiones en lugar de las fracciones parciales cuando s n es un factor del denominador y f(t) = L -1 {F(s)} sea fácil de integrar; por ejemplo, sabemos que cuando f(t) = sen t, entonces F(s) = 1/(s 2 + 1), así que, según la transformada de una integral inversa

74 Transformada de una función periódica

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77 Problemas de valor inicial Como L{ y(“)(t)}, n > 1, depende de y(t) y de sus n - 1 derivadas, evaluadas en t = 0, la transformada de Laplace es lo ideal en problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial se puede reducir a una ecuación algebraica en la función transformada, Y(s). Para comprenderlo, veamos el problema de valor inicial y(0)= y 0, y’(0)= y 1, …. y (n-1) (0) = y n-1 En donde a n, n=0,1…., y y 0,y 1,….y n-1 son contantes. De acuerdo con la propiedad de de la transformada de Laplace podemos escribir

78 O Sea En donde Y(s) =L{y(t)} y G(s) =L{g(t)}. Despejamos Y(s) y llegamos a y(t) determinando la transformada inversa y(t)= L -1 {Y(s)} Según el terorema de una derivada

79 Ecuación Ecuación transformada Resolver la ecuación transformada Solución de la ecuación original

80 Ejemplo: Desarrollamos

81 Despejamos Y(s) y descomponemos en fracciones parciales Asi que

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