RADICALES Y LOGARITMOS U.D. 2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS U.D. 2.4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROPIEDADES 1.- Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si P <> Q  log P <> log Q a a Y además si a > 1 y P < Q  log P < log Q a a Ejemplos Sea 2 <> 3  log 2 <> log 3  0,301030 <> 0,477121 Sea - 2 <> 2  log (-2) <> log 2  No existen logaritmos de base negativa. Sea 2 < 3  log 2 < log 3  0,301030 < 0,477121 Sea 2 < 4  log 2 < log 4  - 1 < - 2 Falso, pues a < 1 1/2 1/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

2.- El logaritmo de la base es 1 log a = 1  a1 = a a Ejemplos Log 2 = 1 , pues 21 = 2 2 Log 5 = 1 , pues 51 = 5 5 3.- El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base log 1 = 0  a 0 = 1 , pues todo número elevado a 0 es la unidad. Ejemplo Log 1 = 0 , pues 10 0 = 1 ln 1 = 0 , pues e 0 = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: 4.- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. Sea y1 = loga x1 e y2 = loga x2 y1 y2 x1 = a y x2 = a Multiplicamos y1 y2 y1 + y2 x1 x2 = a a = a La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: y1 + y2 = loga (x1 x2) quedando, tras sustituir lo que vale y1 e y2 : loga x1 + loga x2 = loga (x1 x2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Hallar sin calculadora: a) log 6 Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 6 log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 b) log 48 Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = = 4 . 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,778151 = 1,982271 c) log 36 Log 36 = log 4.9 = log 2.2.3.3 = log 2+ log 2+ log 3+ log 3 = = 2 . 0,301030 + 2 . 0,477121 = 0,602060 + 0,954242 = 1,556302 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “los productos se convirtieron en sumas”. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: 5.- El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. Sea y1 = loga x1 e y2 = loga x2 y1 y2 x1 = a y x2 = a Dividimos y1 y2 y1 - y2 x1 / x2 = a / a = a La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: y1 - y2 = loga (x1 / x2) quedando, tras sustituir lo que vale y1 e y2 : loga x1 - loga x2 = loga (x1 / x2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Hallar sin calculadora: a) log 0,5 Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 0,5 log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 b) log 250 Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 c) log 2/3 Log 2/3 = log 2 – log 3 = 0,301030 - 0,477121 = - 0,176091 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “las divisiones se convirtieron en sumas”. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Elevando todo a la potencia p: p y p p y.p x = ( a )  x = a 6.- El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. y Sea y = loga x  x = a Elevando todo a la potencia p: p y p p y.p x = ( a )  x = a La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: p p.y = loga x quedando, tras sustituir lo que vale y : p.loga x = loga x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Hallar sin calculadora: a) log 1024 Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 1024 log 1024 = log 210 = 10. log 2 = 10 . 0,301030 = 3,010301 b) log 81 Log 81 = log 34 = 4. 0,477121 = 1,908484 c) log 0,125 Log 0,125 = log 125 / 1000 = log 53 – log 1000 = = 3. log 5 – 3 = 3. log 10/2 – 3 = 3.(log 10 – log 2) – 3 = = 3.(1 – 0,301030) – 3 = 3 – 0,903090 – 3 = - 0,903090 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “las potencias se convirtieron en productos”. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Halla el valor de x en la expresión: 32000 . 23000 Ejemplos Halla el valor de x en la expresión: 32000 . 23000 x = ---------------------- ( Nota: Intentarlo con calculadora) 52657 Tomamos logaritmos decimales: log x = log ( 32000 . 23000 / 52657 )= = log 32000 + log 23000 - log 52657 )= = 2000.log 3 + 3000. log 2 - 2657.log 5 = = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = = 954,242509 + 903,090000 – 1857,163301 = = 1857,332509 – 1857,163301 = = 0,179208 Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.