Definición de logaritmo Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base.

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3 Definición de logaritmo Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base para obtener el número N. 2

4 Conceptos sobre logaritmos Logaritmos es un exponente y puede se cualquier número real. Sólo tienen logaritmo los números reales positivos. La base de los logaritmos es un número real positivo y diferente de 1. 3

5 Expresión de los logaritmos Los logaritmos se expresan de dos formas: Forma exponencial y forma logarítmica. Estas expresiones son convertibles de la una a la otra. 4

6 Identidad fundamental de los logaritmos Si el logaritmo de un número es exponente de su propia base, entonces es igual número N. Ejemplos. 5

7 Propiedades generales de los logaritmos 1) El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero. Ejemplos: 6

8 Propiedades generales de los logaritmos 2) El logaritmo de la base es igual a la unidad. Ejemplos: 7

9 Propiedades generales de los logaritmos 3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Ejemplos: 8

10 Propiedades generales de los logaritmos 4) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. Ejemplos: 9

11 Propiedades generales de los logaritmos 5) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Ejemplos: 10

12 Propiedades generales de los logaritmos 6) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice. Ejemplos: 11

13 Propiedades generales de los logaritmos 7) El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad. Ejemplos: 12

14 Propiedades generales de los logaritmos 8) Si el número y la base son potencias indicadas con una base común, el logaritmo está determinado por el cociente de los exponentes. Ejemplos: 13

15 Propiedades generales de los logaritmos 9) Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una misma potencia o se extrae radicales del mismo grado, el logaritmo no varía. Ejemplos: 14

16 Propiedades complementarias de los logaritmos 1) Reducción de potencias. Ejemplos. 15

17 Propiedades complementarias de los logaritmos 2) Inversos base y número. Ejemplos. 16

18 Propiedades complementarias de los logaritmos 3) Cambio de base. Ejemplos. 17

19 Logaritmos decimales Sea la expresión: log a P = x ↔ a x = P Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que indica la base. log P = x ↔ 10 x = P Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO DECIMAL. En la calculadora la tecla log log 2 = 0,301030 log 20 = 1,301030 log 200 = 2,301030 log 2000 = 3,301030

20 Logaritmos neperianos Cuando el logaritmo es de base e (2,718281828…..) también se omite el subíndice que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente manera: ln P = x ↔ e x = P Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia 1614. En la calculadora la tecla ln ln 2 = 0,693147 ln 20 = 2,995732 ln 200 = 5,298317 ln 2000 = 7,600902

21 En la actualidad los logaritmos que más se utilizan son los decimales y los neperianos. De hecho son los únicos logaritmos que vienen en las calculadoras científicas. Los logaritmos surgieron en Europa al potenciarse el comercio interior y exterior y fue un método mucho más rápido de realizar multiplicaciones de números muy grandes y muy repetidas. Gracias a los logaritmos, para los calculistas de la época: Las multiplicaciones se convirtieron en sumas. Las divisiones en restas. Las potencias en productos. Los radicales en divisiones … Y así ha sido hasta la aparición de las calculadoras. Su desarrollo potenció las matemáticas en los campos: * Interés compuesto. Capitalización y amortización. * Progresiones geométricas. * Escalas para aparatos de medida. * Representaciones estadísticas. Logaritmos

22 FIN DE LA CLASE 21