ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS U. D. 4.8 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones Logarítmicas ECUACIÓN LOGARÍTMICA EXPLÍCITA Es aquella ecuación donde interviene alguna expresión logarítmica de forma explícita. Se resuelve mediante propiedades de los logaritmos. Ejemplos 4 – log x = log (x – 1) ln x – ln 10 = ln (x – 2) ECUACIÓN LOGARÍTMICA IMPLÍCITA Es aquella ecuación exponencial donde, al no tener sus potencias la misma base, para resolver la ecuación hay que aplicar logaritmos. 3x = 5 2x + 3 = 7x – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones explícitas Resuelve la ecuación: log 4x = 3log 2 + 4log 3 log 4x = log 23 + log 34 log 4x = log (23 . 34) 4x = 23 . 34  x = 2.81 = 162 Resuelve la ecuación: log (2x-4) = 3 log (2x-4) = log 1000 2x – 4 = 1000  2.x = 1004  x = 502 Resuelve la ecuación: 4log (3 – 2x) = – 4 log (3 - 2x) 4 = – 4 (3 - 2x) 4 = 10 – 4 (3 - 2x) = 10 – 1 = 0,10  3 – 0,10 = 2.x  x = 2,90 / 2 = 1,45 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones explícitas Resuelve la ecuación: log (x + 1) + log x = log (x + 9) log (x + 1).x = log (x + 9) (x + 1).x = (x + 9) x2 + x = x + 9 x2 = 9 x = 3 x = – 3, que no vale por dar un log de número negativo. Resuelve la ecuación: log (x2 + 15) = log (x + 3) + log x log (x2 + 15) = log (x + 3).x x2 + 15 = (x + 3).x x2 + 15 = x2 + 3x 15 = 3.x  x = 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones explícitas Resuelve la ecuación: log x - log (x-1) = log 3 Por la propiedad de la división de logaritmos: x log ------- = log 3  x /(x -1) = 3  x = 3x – 3  3 = 2x  x = 1,5 x – 1 Resuelve la ecuación: log x + log (x - 1) = 3 Por las propiedades de la potencia y multiplicación de logaritmos: log x + log (x -1) = 3  log x. (x -1) = log 1000 x2 - x = 1000  x2 - x – 1000 = 0 Ecuación de segundo grado que resolveríamos: 1+/-√(1 + 4000) 1+/-63,25 x1 = 32,125 x=---------------------- = -------------- = 2 2 x2 = – 31,125, que no vale. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones explícitas Resuelve la ecuación: log2 (x2 - 1) - log2 (x + 1) = 2 log2 [(x2 - 1)/(x + 1)] = log2 4 (x + 1).(x – 1)/(x + 1) = 4 x – 1 = 4  x = 5 Resuelve la ecuación: log (x - a) - log (x + a) = log x - log (x -a) Log [(x - a) / (x + a)] = log [x / (x -a)] (x - a) / (x + a) = x / (x -a) (x - a).(x – a) = x . (x + a) x2 – 2.a.x + a2 = x2 + a.x – 2.a.x + a2 = a.x a2 = 3.a.x  a = 3.x  x = a / 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones explícitas Resuelve la ecuación: log (7 + x2 ) / log (x – 4) = 2 No existe ninguna propiedad de los logaritmos que nos transforme la división de logaritmos (como tampoco el producto de logaritmos). Debemos pasar el denominador al otro lado para seguir operando. log (7 + x2 ) = 2. log (x – 4) log (7 + x2 ) = log (x – 4) 2 (7 + x2 ) = (x – 4) 2 7 + x2 = x 2 – 8x + 16 7 = – 8.x + 16 8.x = 16 – 7 8.x = 9 x = 9/8 , que no vale pues log (x – 4) no existiría. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones explícitas Resuelve la ecuación: log x - log (x-1) = log 3 Por la propiedad de la división de logaritmos: x log ------- = log 3  x /(x -1) = 3  x = 3x – 3  3 = 2x  x = 1,5 x – 1 Resuelve la ecuación: log x + log (x - 1) = 3 Por las propiedades de la potencia y multiplicación de logaritmos: log x + log (x -1) = 3  log x. (x -1) = log 1000 x2 - x = 1000  x2 - x – 1000 = 0 Ecuación de segundo grado que resolveríamos: 1+/-√(1 + 4000) 1+/-63,25 x1 = 32,125 x=---------------------- = -------------- = 2 2 x2 = – 31,125, que no vale. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones explícitas Resuelve las ecuaciones: log3 x - log9 x = log27 3 Hacemos un cambio de base: log3 x log3 x log3 3 --------- -- --------- = ----------- log3 3 log3 9 log3 27 log3 x log3 x log3 3 --------- - --------- = ---------- 1 2 3 6.log3 x - 3.log3 x = 2.log3 3 3.log3 x = 2  log3 x3 = 2  32 = x3 Y por último: 9 = x3  x = raíz cúbica de 9 = 2,08 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Aplicación de logaritmos Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x+3 x 5 = 8 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x+3 x Log 5 = Log 8 (x+3).Log 5 = x.Log 8 (x+3).0,698970 =x.0,903090 x.0,698970 + 2,096910=x.0,903090 2,096910=x.0,903090 - x.0,698970 2,096910 = 0,204120.x x = 2,096910 / 0,204120 x = 10,2729 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Aplicación de logaritmos Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x – 2 √x 3 = 5 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x – 2 √x Log 3 = Log 5  (x – 2).Log 3 = √x.Log 5  (x-2).0,477121 = √ x. 0,698970 (x-2) = √ x. 1,464972 Al ser ecuación radical, se eleva todo al cuadrado: x2-4x+4 = 2,1461.x  x2 – 6,1461.x+4 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: 6,1461 +/- √ (37,7745 – 16) 6,15 +/- 4,67 10,82 / 2 = 5,41 x = ------------------------------------- = --------------- = 2 2 1,48 / 2 = 0,74 Y comprobamos con la calculadora que x = 0,74 no es válida @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Aplicación de logaritmos Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x + 4 x2 5 = 3 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x + 4 x2 Log 5 = Log 3  (x + 4).Log 5 = x2 .Log 3 (x + 4).0,698970 = x2 . 0,477121  (x + 4).1,4650 = x2 x2 – 1,465 x – 5,86 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: 1,465 +/- √ (2,1461 + 23,44) 1,465 +/- 5,06 6,525 / 2 = 3,2625 x = ---------------------------------------- = --------------------- = 2 2 - 3,595 / 2 = - 1,7975 Y comprobamos con la calculadora que x = - 1,7975 no es válida @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.