Unidad 7. Capítulo VI. Solución de PVI´s usando Transformada de Laplace.

Procedimiento para resolver un problema de valor inicial: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Procedimiento para resolver un problema de valor inicial: 1 Transformar ambos miembros de la ecuación. 2 Usar las propiedades de la transformada para obtener una expresión en la forma: 3 Aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener y(t).

Ejemplo 1: PVI con función de fuerza continua. U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Ejemplo 1: PVI con función de fuerza continua. Solución: De manera que:

Aplicando la Transformada inversa de Laplace: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Aplicando la Transformada inversa de Laplace: Visualización gráfica de la función (comportamiento del sistema analizado).

Ejemplo 2: Ecuaciones con coeficientes variables. U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Ejemplo 2: Ecuaciones con coeficientes variables. Solución: así:

La ecuación diferencial se resuelve separando variables: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace La ecuación diferencial se resuelve separando variables: así, reordenando: el desarrollo del binomio resulta en:

(Esta expresión puede obtenerse también de una tabla). U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace o bien: El proceso formal para la transformada inversa, término a término, permite obtener: Finalmente: (Esta expresión puede obtenerse también de una tabla).

U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace A continuación se presenta la gráfica de la función de Bessel de orden cero J0(x), para 2, 5, 10 y 50 términos de la sucesión.

Ejemplo 3: PVI con función de fuerza continua por tramos. U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Ejemplo 3: PVI con función de fuerza continua por tramos. Solución: así:

La función F(s) se puede expresar en la forma: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace La función F(s) se puede expresar en la forma: de donde: o bien: Esta ecuación permite obtener el siguiente sistema: cuya solución es: así:

y transformada inversa se obtiene en la forma: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace y transformada inversa se obtiene en la forma: y así: Ahora, como: se tiene:

Alternativamente: y su gráfica es: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Alternativamente: y su gráfica es:

Ejemplo 4: Ecuaciones integrales. U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Ejemplo 4: Ecuaciones integrales. Solución: de esta manera:

La inversa se obtiene usando el teorema de convolución: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace La inversa se obtiene usando el teorema de convolución: Así: y de esta manera:

Ejemplo 5: Ecuaciones diferenciointegrales. U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace Ejemplo 5: Ecuaciones diferenciointegrales. Solución: así:

La inversa se obtiene usando el primer teorema de traslación: U-7. Cap. VI. Solución de PVI´s usando transformada de Laplace La inversa se obtiene usando el primer teorema de traslación: y su comportamiento gráfico: