Antiderivada e Integral definida

Habilidades Define la antiderivada de una función. Define la antiderivada más general y su Interpretación geométrica. Encuentra la antiderivada más general. Define la integral definida. Evalúa una integral definida y la interpreta en términos de áreas ede regiones. Explica y aplica las propiedades de la integral definida.

Antiderivada Definición: Una función F recibe el nombre de antiderivada de f en un intervalo I si: Definición:

Antiderivada Si F es una antiderivada de f se escribe: Notación:

Antiderivada Interpretación geométrica: Miembros de la familia de antiderivadas de x

Teorema Si F y G son dos antiderivadas de f en un intervalo I entonces: donde C es una constante. Conclusión: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I entonces, la antiderivada más general de f en I es:

Fórmulas de antiderivadas

Linealidad de la antiderivada

La integral definida Δx xi-1 xi f(xi*) y x a b x1 x2 xn x4 x5 x0 x3 f: continua en [a, b] y x a b n: entero positivo x1 = a + Δx x1 x2 = a + 2Δx x2 xn = a + nΔx = b xn x4 x5 x0 = a x0 x3 x3 = a + 3Δx xi-1 xi Δx f(xi*) Suma de Riemann

La integral definida y x4 x5 x0 x1 x2 x3 xn x a b f: continua en [a, b] n: entero positivo x4 x5 x0 = a x0 x1 x2 x3 xn x x1 = a + Δx a b x2 = a + 2Δx x3 = a + 3Δx xn = a + nΔx = b Integral definida de f en [a, b] Suma de Riemann

La integral definida Notas: Notación de Leibniz: signo de integral 1 f(x): integrando a, b: límites de integración inferior y superior dx: indica la variable de integración Procedimiento para calcular la integral: integración es un número, no depende de x, es decir: 2

La integral definida Como f es continua, la integral definida siempre existe. 3 También existe si f tiene un número finito de discontinuidades removibles o por salto, pero no infinitas. Si f es positiva, la integral definida nos da el área de la región comprendida entre la curva y=f(x) y el eje X, en el intervalo [a, b]. 4

La integral definida En cambio, si f toma tanto valores positivos como negativos, dicha integral nos da la diferencia del área de todas las regiones comprendidas entre la curva y=f(x) y el eje X, las de arriba menos las de debajo del eje X, en el intervalo [a, b].

Propiedades de la integral definida c: constante 1 2 3 4 5

Propiedades de la integral definida 6 Si entonces 7 Si entonces Si 8 entonces 9a 9b

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Secciones 4.10, 5.1 y 5.2 Ejercicios 4.10 pág 356: 11, 12, 18, 35, 60, 62, 65, 66, 68, 70, 76, 77. Ejercicios 5.2 pág 388: 15-18, 29 - 58, 63 - 65.