Derivada direccional y gradiente Un estudio de la tasa instantánea de variación de una función en una dirección no paralela a los ejes x y y

Derivada parcial respecto a x recta tangente a la curva en P(a;b;f(a;b)); pendiente: fx(a;b) plano y = b curva inters. gráfica-plano f(x;y) a “Tasa de cambio en la dirección del vector i” i

Derivada parcial respecto a y recta tangente a la curva en P(a;b;f(a;b)); pendiente: fx(a;b) plano x = a f(x;y) curva inters. gráfica-plano b “Tasa de cambio en la dirección del vector j” j

¿Podremos determinar la tasa de cambio en una dirección oblicua? recta tangente a la curva en Q(a;b;f(a;b)); su pendiente es la tasa instantánea de cambio en la dirección del vector u f(x;y) plano perpend. al xy y paralelo al vector u a b “Derivada direccional de f en (a;b) en la dirección del vector u” curva inters. gráfica-plano u = (u1;u2) es un vector unitario

Teorema Sea f(x;y) diferenciable en (a;b). Sea u = (u1;u2) un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u en (a;b) viene dada por: Duf(a;b) = fx(a;b)u1 + fy(a;b)u2 DEMOSTRACIÓN

Observación Podemos expresar el resultado que hemos obtenido para la derivada direccional: Duf(a;b) = fx(a;b)u1 + fy(a;b)u2 como un producto escalar. En efecto: Duf(a;b) = fx(a;b)u1 + fy(a;b)u2 = <fx(a;b); fy(a;b)>·(u1; u2)

Vector gradiente

Direcciones de máximo y mínimo crecimiento Hemos conseguido expresar la derivada direccional como un producto escalar: Es fácil ver que este producto escalar será máximo cuando el gradiente y el vector u tengan la misma dirección y sentido; y que será mínimo cuando tengan la misma dirección y sentido opuesto. En efecto: El máximo valor de ese coseno será 1 cuando el ángulo sea 0º (gradiente y vector u con igual dirección y sentido), y el mínimo -1 cuando el ángulo sea 180º (gradiente y vector u con igual dirección y sentido opuesto). De esa manera:

Propiedades del vector gradiente

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Trayectorias de máximo incremento Como el gradiente es normal a las curvas de nivel de una función, y la dirección del gradiente es a su vez la de máximo crecimiento de una función, se sigue que si queremos desplazarnos en el plano de las variables de manera que el incremento de la función sea en todo momento máximo, debemos seguir una trayectoria que en cada punto es normal a la curva de nivel que pasa por ese punto. Trayectoria aproximada de máximo incremento partiendo de P Esta trayectoria no es una de máximo incremento