Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS Clase 5.1 Extremos relativos Cálculo MA459 Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS Clase 5.1 Extremos relativos CÁLCULO CÁLCULO

¡Reflexión! La figura muestra la gráfica del Ingreso Marginal (Im) en soles por cientos de unidades de las ventas de una empresa. ¿Cuántas unidades debe vender para optimizar el ingreso? q Im CÁLCULO

Logro: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza el comportamiento de la gráfica de una función (monotonía y extremos relativos) utilizando la primera derivada. CÁLCULO

Funciones crecientes y decrecientes Sea f una función e I un intervalo. Se dice que f es creciente en I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, donde x1< x2 , se cumple que f(x1) < f(x2). Se dice que f es decreciente en I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, donde x1< x2 , se cumple que f(x1) > f(x2). CÁLCULO CÁLCULO 4

Criterio para función creciente y decreciente Sea f diferenciable en el intervalo ]a; b[. Si f ´(x) > 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es creciente en ]a; b[. Si f ´(x) < 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es decreciente en ]a; b[. Por ejemplo, consideremos la función f(x) = (x - 1)2. Al derivar tenemos: f ´(x) = 2(x - 1). f ´(x) > 0 para x >1 , luego f es creciente en ]1; +[ y f ´(x) < 0 para x < 1, entonces f es decreciente en ]-; 1[ CÁLCULO CÁLCULO 5

Extremos relativos de una función Una función f tiene un máximo relativo en x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual f (x0) > f (x) para todo x en el intervalo. El máximo relativo es f (x0). Una función f tiene un mínimo relativo en x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual f (x0) < f (x) para todo x en el intervalo. El mínimo relativo es f (x0). b a c d e x y CÁLCULO CÁLCULO 6

Extremos absolutos de una función Una función f tiene un máximo absoluto en x0, si f (x0) > f (x) para todo x en el dominio de f. El máximo absoluto es f (x0). Una función f tiene un mínimo absoluto en x0, si f (x0) < f (x) para todo x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f (x0). b a c d e x y CÁLCULO CÁLCULO 7

Extremos relativos b a c d e x y Máximos relativos en: x = y x = e Mínimos relativos en: x = y x = b c Si f tiene un extremo relativo en x0, entonces f ´(x0) = 0 o f ´(x0) no existe. Lo contrario no sucede, es decir, que f ´(x0) = 0, no garantiza que f (x0) sea un extremo relativo. CÁLCULO CÁLCULO

Valor crítico y punto crítico Si x0 está en el dominio de f y f ´(x0) = 0 o f ´(x0) no está definida, entonces x0 se denomina valor crítico de f. Si x0 es un valor crítico, entonces: el punto (x0; f (x0)) se denomina punto crítico. Por ejemplo, los valores y puntos críticos de: no existe en x = 0 x = -2 vc: x = -2, pc: (-2; -1) vc: x = 0, pc: (0; 0) CÁLCULO CÁLCULO 9

Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos Sea f continua en un intervalo abierto I y f diferenciable en I excepto posiblemente en el valor crítico x0  I. La función f tiene un máximo relativo en x0 si f (x) > 0 a la izquierda de x0 y f (x) < 0 a la derecha de x0. La función f tiene un mínimo relativo en x0 si f (x) < 0 a la izquierda de x0 y f (x) > 0 a la derecha de x0. CÁLCULO CÁLCULO

Ejemplo 1: Halle los valores extremos relativos de las funciones. a. f(x) = x4 – 8x2 b. c. d. CÁLCULO CÁLCULO

Ejemplo 2: La figura muestra la gráfica de la derivada de una función. Indique los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los valores en donde hay máximo y mínimo de la función. f´ CÁLCULO CÁLCULO

Ejemplo 3: La figura muestra la gráfica del Ingreso Marginal (Im) en soles por cientos de unidades de las ventas de una empresa. ¿Cuántas unidades debe vender para optimizar el ingreso? q Im CÁLCULO

Ejemplo 4: Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones: Dominio: R f ´(0) = f ´(1) = f ´(2) = 0 f ´(x) < 0 cuando x < 0 y x >2 f ´(x) > 0 cuando 0 < x < 1 y 1 < x < 2 CÁLCULO CÁLCULO 14

Ejemplo 5: Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones: Dominio: R - {4} f (0) =1; f (-3) = -2; f (2) = 3 f ´(0) = f ´(-3) = f ´(2) = 0 f ´(x) < 0 cuando x < -3 y 2< x <4 f ´(x) > 0 cuando -3 < x < 0, 0 < x < 2 y x > 4 CÁLCULO CÁLCULO 15